Задача 77464. Исследование степенных и иррациональных функций

Перепишем функцию в удобном виде. Заметим, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, поэтому $x\sqrt{x} = x^{3/2}$.

Функция принимает вид: $$y = 3x - 2x^{3/2}$$

Найдём производную, используя правило дифференцирования степенной функции: $$y' = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 3 - 3\sqrt{x}$$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $$3 - 3\sqrt{x} = 0$$ $$\sqrt{x} = 1$$ $$x = 1$$

Точка $x = 1$ лежит внутри отрезка $[0; 4]$, поэтому она кандидат на экстремум.

Определим знаки производной:

• При $x \in (0; 1)$: $\sqrt{x} < 1$, значит $y' = 3 - 3\sqrt{x} > 0$ — функция возрастает.
• При $x \in (1; 4)$: $\sqrt{x} > 1$, значит $y' = 3 - 3\sqrt{x} < 0$ — функция убывает.

Следовательно, $x = 1$ — точка максимума.

Найдём значения на отрезке:

• $y(0) = 0$
• $y(1) = 3(1) - 2(1)^{3/2} = 3 - 2 = 1$
• $y(4) = 3(4) - 2(4)^{3/2} = 12 - 2 \cdot 8 = 12 - 16 = -4$

Наибольшее значение равно $1$.