ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задача 530400. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Найдите наименьшее значение функции y  =  15 + 12x + x3 на отрезке [−2; 2].

В подтеме 62 задач
Разбор
Главная идея: Функция возрастает на всём отрезке (так как производная всегда положительна), поэтому наименьшее значение находится в левой граничной точке.

Найдём производную функции по правилам дифференцирования:

y′=12+3x2y' = 12 + 3x^2

Производная представляет собой сумму положительного числа 12 и неотрицательного слагаемого 3x23x^2 (так как квадрат любого числа ≥ 0). Это означает, что y′>0y' > 0 при всех значениях xx, включая весь отрезок [−2;2][-2; 2].

Когда производная положительна на всём промежутке, функция возрастает на этом промежутке. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в левом конце отрезка.

Вычислим значение в точке x=−2x = -2:

y(−2)=15+12⋅(−2)+(−2)3=15−24−8=−17y(-2) = 15 + 12 \cdot (-2) + (-2)^3 = 15 - 24 - 8 = -17

Проверим значение в правом конце x=2x = 2 для сравнения:

y(2)=15+12⋅2+23=15+24+8=47y(2) = 15 + 12 \cdot 2 + 2^3 = 15 + 24 + 8 = 47

Действительно, −17<47-17 < 47, что подтверждает монотонность функции.

Типичные ошибки

  • Забыть проверить знак производной и попытаться найти критические точки (их здесь нет, так как 3x2+12=03x^2 + 12 = 0 не имеет решений).
  • Вычислительная ошибка при подстановке x=−2x = -2: неправильно раскрыть скобки или ошибиться в арифметике с отрицательными числами.
  • Проверить только значение в одной точке, забыв сравнить со значениями на концах отрезка (хотя в данном случае достаточно проверить левый конец).

Ещё задачи этой подтемы