Задача 628748. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = x^5 + 15x^3 - 260x$.

Чтобы найти экстремумы, вычислим производную по правилу степени: $$y' = 5x^4 + 45x^2 - 260$$

Шаг 2. Решим уравнение $y' = 0$.

Приравняем производную к нулю: $$5x^4 + 45x^2 - 260 = 0$$

Разделим обе части на 5: $$x^4 + 9x^2 - 52 = 0$$

Это биквадратное уравнение. Введём замену $t = x^2$ (где $t \geq 0$): $$t^2 + 9t - 52 = 0$$

По формуле Виета или через дискриминант находим корни: $$t = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 208}}{2} = \frac{-9 \pm 17}{2}$$

Получаем $t = 4$ или $t = -13$.

Поскольку $t = x^2 \geq 0$, подходит только $t = 4$.

Шаг 3. Вернёмся к переменной $x$.

Из $x^2 = 4$ получаем $x = 2$ или $x = -2$.

Это критические точки.

Шаг 4. Определим, где максимум.

Проверим знаки производной на интервалах:

• При $x < -2$ (например, $x = -3$): $y' = 5(81) + 45(9) - 260 = 405 + 405 - 260 > 0$ — функция возрастает
• При $-2 < x < 2$ (например, $x = 0$): $y' = -260 < 0$ — функция убывает
• При $x > 2$ (например, $x = 3$): $y' = 5(81) + 45(9) - 260 > 0$ — функция возрастает

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит это точка максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.