Задача 77456. Исследование степенных и иррациональных функций

Найдём производную функции $y=3x-2x^{3/2}$.

Применяем правило дифференцирования степени: производная $x^{3/2}$ равна $\frac{3}{2}x^{1/2}$.

Получаем: $$y'=3-2\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=3-3\sqrt{x}=3(1-\sqrt{x})$$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: $$3(1-\sqrt{x})=0$$ $$\sqrt{x}=1$$ $$x=1$$

Точка $x=1$ лежит внутри отрезка $[0;7]$, поэтому это внутренняя критическая точка.

Анализируем знак производной:

• При $0<x<1$: $\sqrt{x}<1$, поэтому $y'>0$ — функция возрастает
• При $x>1$: $\sqrt{x}>1$, поэтому $y'<0$ — функция убывает

Это означает, что $x=1$ — точка максимума функции на отрезке.

Вычислим значения на концах и в точке максимума: $$y(0)=3\cdot 0-2\cdot 0=0$$ $$y(1)=3\cdot 1-2\cdot 1^{3/2}=3-2=1$$ $$y(7)=3\cdot 7-2\cdot 7^{3/2}=21-2\cdot 7\sqrt{7}<0$$

Наибольшее значение функции на отрезке — это $y(1)=1$.