ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задача 77462. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите наименьшее значение функции y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 3x плюс 1 на отрезке левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .

В подтеме 62 задач
Разбор
Главная идея: Функция непрерывна на отрезке, её производная отрицательна внутри интервала, значит функция монотонно убывает, и минимум находится на правом конце.

Найдём производную функции y=23xx−3x+1y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 3x + 1.

Переписываем: y=23x3/2−3x+1y = \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x + 1.

Применяем правило дифференцирования степенной функции: y′=23⋅32x1/2−3=x1/2−3=x−3y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = x^{1/2} - 3 = \sqrt{x} - 3

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: x−3=0  ⟹  x=3  ⟹  x=9\sqrt{x} - 3 = 0 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9

Точка x=9x = 9 принадлежит отрезку [1;9][1; 9].

Определим знаки производной:

  • При x∈[1;9)x \in [1; 9): x<3\sqrt{x} < 3, поэтому y′<0y' < 0 — функция убывает
  • При x=9x = 9: y′=0y' = 0

Так как функция убывает на всём отрезке, её наименьшее значение достигается в правом конце отрезка — в точке x=9x = 9.

Вычислим: y(9)=23⋅9⋅9−3⋅9+1=23⋅9⋅3−27+1=18−27+1=−8y(9) = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} - 3 \cdot 9 + 1 = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 - 27 + 1 = 18 - 27 + 1 = -8

Типичные ошибки

  • Забыть правильно найти производную при преобразовании xx=x3/2x\sqrt{x} = x^{3/2}
  • Перепроверить, что критическая точка действительно входит в отрезок [1;9][1; 9]
  • Ошибиться при вычислении значения функции: 9⋅3÷3⋅2=189 \cdot 3 ÷ 3 \cdot 2 = 18, а не 12

Ещё задачи этой подтемы