Задача 77451. Исследование степенных и иррациональных функций

Исследуем функцию $y = x^{3/2} - 3x + 1$.

Шаг 1. Найдём производную

Применяем правило дифференцирования степени: для $x^n$ получаем $nx^{n-1}$.

$$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3$$

Производная определена при $x > 0$.

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0$$

$$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 3$$

$$\sqrt{x} = 2$$

$$x = 4$$

Шаг 3. Определим знак производной

На интервале $(0; 4)$: выберем $x = 1$, тогда $y' = \frac{3}{2} \cdot 1 - 3 = -1.5 < 0$ — функция убывает.

На интервале $(4; +\infty)$: выберем $x = 9$, тогда $y' = \frac{3}{2} \cdot 3 - 3 = 1.5 > 0$ — функция возрастает.

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит $x = 4$ — точка минимума.