Задание 4 ЕГЭ: классическое определение вероятности — формула, алгоритм и примеры

О чём эта подтема

Задание 4 профильного ЕГЭ проверяет умение находить вероятность события по классическому определению — самому базовому и самому частому способу решения задач на вероятность в экзамене. Суть подтемы проста: если у случайного опыта есть конечное число равновозможных исходов, то вероятность события считается как отношение числа «подходящих» исходов к общему числу исходов.

В таких задачах обычно фигурируют предметы, которые выбирают наугад: шары, монеты, билеты, насосы, детали, книги. Условие всегда устроено так, что все исходы равновозможны — то есть нет причин, по которым один предмет должен быть выбран чаще другого. Это ключевое условие применимости формулы, и его нужно проверять мысленно при чтении задачи.

Сложность заданий этой подтемы не в самой формуле — она предельно простая, — а в том, чтобы правильно посчитать общее число исходов и число благоприятных исходов. Именно на этом этапе чаще всего теряются баллы: пропускают часть случаев, путают событие с его дополнением или неправильно интерпретируют условие («больше», «не более», «хотя бы»).

Что нужно знать

Классическое определение вероятности. Если случайный опыт имеет $n$ равновозможных исходов, и событию $A$ благоприятствуют $m$ из них, то $$P(A)=\frac{m}{n}.$$

Здесь $n$ — это общее количество всех возможных исходов опыта (например, общее количество предметов, из которых выбирают один), а $m$ — количество тех исходов, при которых происходит именно событие $A$ (например, количество «подходящих» предметов).

Условие равновозможности. Формула работает только тогда, когда каждый исход имеет одинаковый шанс произойти. В задачах ЕГЭ это обычно гарантируется словами «наугад», «случайно выбирает», «на выбор» и однородностью объектов (все монеты, все насосы и т. п. считаются равнозначными кандидатами на выбор).

Вероятность противоположного события. Если событие $\bar A$ противоположно событию $A$ (то есть «$A$ не произошло»), то $$P(A)+P(\bar A)=1 \quad\Rightarrow\quad P(\bar A)=1-P(A).$$ Этот приём часто экономит время: иногда посчитать дополнительное событие проще, чем исходное.

Диапазон значений вероятности. Всегда $0 \le P(A) \le 1$. Это полезно для самопроверки: если в результате вычислений получилось число больше 1 или отрицательное, значит, где-то допущена ошибка в подсчёте исходов.

Формат ответа. В заданиях 4 ответ обычно записывают в виде десятичной дроби (например, $0{,}995$ или $0{,}72$). Дробь $m/n$ нужно довести до конца — либо сократить и перевести в десятичный вид, либо сразу разделить числитель на знаменатель.

Не нужно для этой подтемы: формулы сложения и умножения вероятностей, независимые события, условная вероятность, комбинаторные формулы (перестановки, сочетания) — эти темы относятся к другим подтемам задания 4 и задания 4 повышенной сложности. Здесь же почти всегда достаточно аккуратного подсчёта количества объектов.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на классическое определение вероятности состоит из пяти шагов.

Шаг 1. Определить событие $A$, вероятность которого нужно найти. Внимательно перечитать вопрос задачи и сформулировать словами, что именно является искомым событием (например, «насос не подтекает», «оставшаяся сумма больше 70 рублей»).

Шаг 2. Найти общее число равновозможных исходов $n$. Это, как правило, общее количество объектов, из которых происходит случайный выбор (все насосы, все монеты, все билеты и т. д.). Важно убедиться, что каждый исход действительно равновозможен — если объекты одинаковы по способу выбора («один наугад»), это условие выполняется автоматически.

Шаг 3. Найти число благоприятных исходов $m$. Это самый ответственный шаг. Нужно понять, какие именно из всех объектов удовлетворяют условию события $A$, и аккуратно их посчитать. Часто здесь требуется небольшое рассуждение или неравенство (как в примере 2 ниже), а не просто чтение готового числа из условия.

Шаг 4. Если проще посчитать противоположное событие — сделать это. Иногда напрямую считать благоприятные исходы сложно (много случаев, разные варианты), но легко посчитать вероятность противоположного события. Тогда находим $P(\bar A)$ и переходим по формуле $P(A) = 1 - P(\bar A)$.

Шаг 5. Подставить числа в формулу и получить ответ. $$P(A)=\frac{m}{n}.$$ Результат нужно представить в требуемом формате — как правило, десятичной дробью. Полезно устно прикинуть, разумна ли получившаяся вероятность (лежит между 0 и 1, не выглядит подозрительно большой или маленькой для данного контекста).

Этот алгоритм подходит для абсолютного большинства задач подтемы. Разница между конкретными задачами — только в том, что придётся посчитать на шаге 2 и шаге 3: где-то это прямое чтение чисел из условия, где-то — небольшое рассуждение с неравенством или суммой.

Разбор примера

Пример 1. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Шаг 1. Определяем событие. Искомое событие — «насос не подтекает». Обозначим его $A$.

Шаг 2. Общее число исходов. Всего насосов $n = 1400$ — из них наугад выбирают один, поэтому каждый насос равновозможен как результат выбора.

Шаг 3. Считаем через противоположное событие. Прямо считать число насосов, которые «не подтекают», не нужно — легче сначала найти вероятность того, что насос подтекает, а затем перейти к дополнению. Известно, что подтекают $7$ насосов из $1400$: $$P(\text{подтекает})=\frac{7}{1400}=0{,}005.$$

Шаг 4. Переходим к противоположному событию. События «подтекает» и «не подтекает» противоположны, значит: $$P(\text{не подтекает})=1-P(\text{подтекает})=1-0{,}005=0{,}995.$$

Ответ: $0{,}995$.

Здесь ключевая идея — не нужно было искать количество насосов, которые не подтекают (хотя это можно было бы: $1400-7=1393$, и тогда $P=\dfrac{1393}{1400}=0{,}995$ — тот же результат). Оба пути верны, но переход через противоположное событие часто короче.

Пример 2. У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Шаг 1. Определяем событие. Событие $A$ — «после изъятия одной монеты в копилке осталось больше 70 рублей».

Шаг 2. Общее число исходов. Всего монет в копилке: $$n = 12+6+4+3=25.$$ Каждая монета может быть вынута с равным шансом, поэтому это равновозможные исходы.

Шаг 3. Находим общую сумму денег в копилке. Это нужно, чтобы понять, какая монета «портит» условие, а какая — не портит: $$12\cdot 1 + 6\cdot 2 + 4\cdot 5 + 3\cdot 10 = 12+12+20+30=74\ \text{руб.}$$

Шаг 4. Переводим условие в неравенство. Если вынута монета номиналом $x$ рублей, в копилке останется $74-x$ рублей. Требуется, чтобы эта сумма была больше 70: $$74-x>70 \quad\Longrightarrow\quad x<4.$$ Среди номиналов $1,2,5,10$ условию $x<4$ удовлетворяют только $x=1$ и $x=2$ — то есть рублёвые и двухрублёвые монеты.

Шаг 5. Считаем число благоприятных исходов. Благоприятны все случаи, когда вынута рублёвая или двухрублёвая монета: $$m = 12+6=18.$$

Шаг 6. Вычисляем вероятность. $$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{18}{25}=0{,}72.$$

Ответ: $0{,}72$.

Эта задача показывает типичный «второй слой» сложности: сама формула $P=m/n$ элементарна, но перед её применением нужно провести небольшое рассуждение — перевести словесное условие («останется более 70 рублей») в неравенство относительно номинала вынутой монеты и только потом посчитать подходящие исходы.

Типичные ошибки

Игнорирование условия равновозможности. Иногда в задачах исходы формально можно перечислить, но они не равновозможны (например, если одна группа объектов заведомо выбирается чаще другой из-за формулировки условия). Перед применением формулы стоит убедиться, что речь идёт именно о случайном равновероятном выборе одного объекта из общего набора.

Неверный подсчёт общего числа исходов. Частая ошибка — забыть учесть какую-то категорию объектов при подсчёте $n$ (например, забыть один из номиналов монет или один из видов деталей). Полезно всегда явно выписывать сумму всех групп перед тем, как переходить к следующему шагу.

Неверный подсчёт благоприятных исходов. Особенно часто ошибаются при переводе условия в неравенство: путают строгое неравенство ($>$) и нестрогое ($\ge$), либо неправильно определяют, какие категории объектов подходят под условие. В примере 2 легко ошибиться и включить пятирублёвые монеты, если неверно решить неравенство $74-x>70$.

Путаница между событием и его противоположностью. Иногда в задаче спрашивают вероятность того, что событие не произойдёт, а решающий по инерции считает вероятность самого события и забывает применить формулу $P(\bar A)=1-P(A)$. Нужно чётко фиксировать на первом шаге, какое именно событие требуется в вопросе.

Ошибки при переводе дроби в десятичную форму. После того как дробь $m/n$ найдена верно, иногда допускают арифметическую ошибку при делении или сокращении. Стоит сокращать дробь до простого вида и затем делить столбиком или проверять умножением в обратную сторону.

Неправильное прочтение формулировки «больше», «не менее», «не более». Слова «более 70» означают строгое неравенство $>70$, а «не менее 70» — нестрогое $\ge 70$. Подмена одного на другое меняет ответ, особенно если граничное значение точно достигается при одном из номиналов.

На что обратить внимание на экзамене

На экзамене на решение задания 4 обычно закладывается немного времени, поэтому важна скорость без потери точности. Первое, что стоит сделать — сразу выписать, что является полным набором исходов $n$ и какое событие является искомым $A$. Это экономит время на дальнейших шагах и снижает риск потерять часть случаев.

При вычислении числа благоприятных исходов полезно явно проговаривать (хотя бы про себя) критерий отбора: «подходят объекты, у которых номинал меньше 4», «подходят все монеты, кроме пятирублёвых и десятирублёвых» — такая формулировка снижает риск случайно включить или исключить лишнюю категорию.

Если по условию проще посчитать вероятность обратного события, не стоит стесняться перейти к нему — это стандартный и часто более быстрый путь, особенно если прямое событие описывается длинным перечислением условий («хотя бы один», «не все» и подобные формулировки обычно удобнее считать через дополнение).

Перед тем как записать окончательный ответ, полезно быстро проверить его на правдоподобность: вероятность должна лежать в промежутке от 0 до 1, а для событий, которые интуитивно «скорее происходят», ответ должен быть больше 0,5, и наоборот. Если полученное число выглядит подозрительно (например, получилось больше 1 или отрицательным), это явный сигнал пересчитать шаги 2 и 3 алгоритма.

Ответ нужно записывать в том виде, который требует бланк ответов — как правило, это десятичная дробь без округления, если она получается конечной (как $0{,}995$ или $0{,}72$). Если дробь не сокращается до конечной десятичной, стоит внимательно перечитать условие — вероятнее всего, где-то допущена ошибка в подсчёте $n$ или $m$, так как в задачах этой подтемы ответы почти всегда получаются «красивыми» конечными дробями.