Задание 4 ЕГЭ профиль: классическое определение вероятности

Что проверяет задание

Задание 4 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение находить вероятность случайного события по классическому определению — через отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов. Здесь не требуется знание сложных формул комбинаторики или теорем о независимых событиях — задача проверяет базовое понимание того, что такое вероятность, и умение правильно посчитать исходы в конкретной жизненной ситуации: монеты, кубики, детали, стрелки часов, шары в урне и подобное.

Ключевая идея — все исходы в задаче должны быть равновозможными. Именно поэтому это задание называют заданием на классическое определение вероятности: оно противопоставляется задачам на геометрическую вероятность или на вероятность зависимых/независимых событий, которые встречаются в задании 4 профиля реже, но иногда пересекаются по формулировке.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка звучит так: «В магазине продаётся N товаров, из них M бракованных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный товар не бракован» или «В группе K человек, среди них L отличников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный человек — отличник». Часто встречаются сюжеты про монеты разного номинала, часы с циферблатом, кубики, лотерейные билеты, шары разных цветов.

Задание 4 относится к части 1 экзамена, требует записи только числового ответа (в виде десятичной дроби), решение не проверяется экспертом, но должно быть верным по существу. За правильный ответ начисляется 1 первичный балл. Ответ обычно округляется не требуется — вероятность получается точным конечным десятичным числом, поэтому важно не допускать вычислительных ошибок в дроби.

Что нужно знать

• Классическое определение вероятности: если все исходы эксперимента равновозможны, то вероятность события $A$ равна $$P(A)=\frac{m}{n},$$ где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$, $n$ — общее число всех равновозможных исходов.
• Вероятность любого события лежит в пределах $0 \le P(A) \le 1$.
• Вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.
• Формула вероятности противоположного события: $$P(\overline{A})=1-P(A).$$
• Если событие описывается объединением нескольких непересекающихся исходов (например, «монета рублёвая или двухрублёвая»), то число благоприятных исходов складывается: $m = m_1+m_2$.
• Для задач с непрерывной величиной (стрелка часов, точка на отрезке) вместо количества исходов используют отношение длин (мер) участков — это частный случай геометрической вероятности, но подсчёт делается по той же логике «часть от целого».
• Важно правильно определить, что именно является полным набором исходов в задаче: все монеты, все насосы, все положения стрелки на циферблате и так далее.

Методы решения

Метод 1. Прямой подсчёт по формуле классической вероятности. Подходит, когда в условии явно даны количества объектов разных типов. Считаем общее число объектов $n$ и число нужных объектов $m$, делим одно на другое.

Мини-пример: в коробке 20 карандашей, из них 5 красных. Вероятность достать красный карандаш: $$P=\frac{5}{20}=0{,}25.$$

Метод 2. Переход к противоположному событию. Используется, когда прямо искомое событие вычислить сложнее, чем его отрицание (например, «хотя бы один» или «не подтекает»).

Мини-пример: вероятность выигрыша в лотерее 0,02. Тогда вероятность не выиграть: $$P=1-0{,}02=0{,}98.$$

Метод 3. Объединение нескольких благоприятных категорий. Когда благоприятному событию соответствует не одна, а несколько групп объектов, их количества складываются, а затем делятся на общее число исходов.

Мини-пример: в корзине 3 яблока, 4 груши, 2 сливы. Вероятность достать яблоко или грушу: $$P=\frac{3+4}{3+4+2}=\frac{7}{9}.$$

Метод 4. Работа с суммами и «пороговыми» условиями (задачи на деньги, вес и т. п.). Сначала находим общую характеристику (сумму, вес), затем определяем, какие объекты удовлетворяют условию после изъятия/добавления, и считаем благоприятные исходы.

Мини-пример: в копилке монеты по 1 и 5 рублей, всего сумма 30 рублей. Если нужно, чтобы после изъятия одной монеты осталось больше 28 рублей, подходят только монеты достоинством меньше 2 рублей — то есть рублёвые.

Метод 5. Геометрическая интерпретация равновозможных положений (стрелки, точки на окружности или отрезке). Когда исходы — это не дискретные объекты, а непрерывные положения (угол стрелки, точка на шкале), вероятность считается как отношение длины благоприятного участка ко всей длине шкалы.

Мини-пример: минутная стрелка остановилась где-то на циферблате. Вероятность того, что она остановилась между отметками 0 и 3 (то есть в первой четверти часа): $$P=\frac{3}{12}=0{,}25.$$

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и определить, что является «полным набором исходов» — это общее число объектов, монет, положений стрелки и т. д. Обозначить его как $n$.
2. Определить, какое событие требуется найти, и понять, сколько исходов ему благоприятствует — обозначить как $m$.
3. Если удобнее считать не искомое событие, а противоположное, найти вероятность противоположного события и вычесть её из 1.
4. Если благоприятных категорий несколько, аккуратно сложить количество объектов в каждой из них.
5. Если задача связана с суммой, весом или другой числовой характеристикой, сначала вычислить общую величину, затем определить условие на отдельный объект (например, через неравенство), и только после этого посчитать количество подходящих объектов.
6. Если исходы непрерывные (положение стрелки, точка на отрезке), заменить подсчёт объектов на подсчёт длин соответствующих участков.
7. Подставить найденные $m$ и $n$ в формулу $P=\dfrac{m}{n}$, сократить дробь и перевести результат в десятичную запись.
8. Проверить, что ответ лежит в диапазоне от 0 до 1 и соответствует здравому смыслу задачи.

Разбор примеров

Пример 1. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Шаг 1. Определяем полный набор исходов: всего насосов $n=1400$.

Шаг 2. Находим вероятность того, что насос подтекает — это удобнее посчитать напрямую, так как таких насосов дано ровно $m=7$: $$P(\text{подтекает})=\frac{7}{1400}=0{,}005.$$

Шаг 3. События «подтекает» и «не подтекает» противоположны, поэтому применяем формулу противоположного события: $$P(\text{не подтекает})=1-0{,}005=0{,}995.$$

Ответ: 0,995.

Пример 2. У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Шаг 1. Находим общую сумму в копилке: $$12\cdot 1 + 6\cdot 2 + 4\cdot 5 + 3\cdot 10 = 12+12+20+30=74\ \text{руб.}$$

Шаг 2. Определяем условие на изъятую монету. Если достали монету номиналом $x$, останется $74-x$ рублей. Нужно, чтобы $$74-x>70 \;\Rightarrow\; x<4.$$ Этому условию удовлетворяют только рублёвые ($x=1$) и двухрублёвые ($x=2$) монеты.

Шаг 3. Считаем общее число исходов — это все монеты: $$n=12+6+4+3=25.$$ Число благоприятных исходов — рублёвые плюс двухрублёвые: $$m=12+6=18.$$

Шаг 4. Вычисляем вероятность: $$P=\frac{18}{25}=0{,}72.$$

Ответ: 0,72.

Пример 3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.

Шаг 1. Понимаем, что исходы здесь непрерывные: часовая стрелка может остановиться в любой точке циферблата, все положения равновозможны. Полная «длина» всех исходов равна длине всего циферблата — 12 часовых делений.

Шаг 2. Определяем благоприятный участок — от отметки 4 до отметки 7. Его длина: $$7-4=3\ \text{деления}.$$

Шаг 3. Вероятность равна отношению длины благоприятного участка к длине всего циферблата: $$P=\frac{3}{12}=0{,}25.$$

Ответ: 0,25.

Типичные ошибки и ловушки

• Неверное определение общего числа исходов: иногда в задаче даны лишние числа (например, общая сумма денег), которые ошибочно принимают за число исходов вместо количества объектов (монет, людей, предметов).
• Путаница между событием и его противоположностью: важно чётко понимать, какое событие спрашивается — «подтекает» или «не подтекает», «отличник» или «не отличник» — и не перепутать, какую вероятность вычитать из единицы.
• Ошибки при работе с несколькими категориями объектов: забывают сложить все подходящие группы или, наоборот, включают лишние.
• В задачах на суммы денег или веса — неправильное составление неравенства: важно тщательно записать условие («более 70 рублей», «не менее», «строго меньше») и проверить знак неравенства.
• В задачах на циферблат или геометрическую вероятность — ошибка в подсчёте длины участка, особенно если участок «переходит» через ноль (например, от 10 до 2 часов) — тогда длина считается как сумма двух отрезков, а не разность.
• Забывают, что все исходы должны быть равновозможными: если в условии подразумевается неравная вероятность выбора объектов, классическое определение вероятности напрямую неприменимо.
• Ошибки в переводе обыкновенной дроби в десятичную: важно проверять деление, а не полагаться на приблизительное округление, так как в задании 4 ответ обычно точный.

Как готовиться

Для уверенного решения задания 4 стоит регулярно прорешивать задачи разных типов: с монетами, шарами, деталями, лотерейными билетами, часами и циферблатами. Полезно вести короткий список формул — классическое определение вероятности и формула противоположного события — и повторять его перед практикой. При разборе новой задачи всегда сначала явно выписывать, что является полным набором исходов, а что — благоприятным событием, не полагаясь на интуицию.

Отдельное внимание стоит уделить задачам с «пороговыми» условиями на суммы, веса или количества — в них важно аккуратно переводить словесное условие в неравенство. Также полезно решать задачи на геометрическую вероятность (стрелки часов, точки на отрезке), чтобы отработать переход от подсчёта объектов к подсчёту длин. Регулярная практика с проверкой ответов и разбором ошибок позволяет довести решение таких задач до автоматизма и не терять баллы на этом, казалось бы, простом задании.