Задание 5 ЕГЭ (профиль): теоремы о вероятностях событий

О чём эта подтема

В задании 5 профильного ЕГЭ проверяется умение применять базовые теоремы о вероятностях событий: правило сложения вероятностей, правило умножения, понятие условной вероятности и формулу полной вероятности. Условие обычно описывает реальную ситуацию — работу заводов, поставки товаров, лотереи, монеты, кубики, телефонные номера — и просит найти вероятность события, которое складывается из нескольких более простых. Комбинаторика здесь почти не нужна: главное — верно понять, как события связаны друг с другом (зависимые или независимые, совместные или несовместные), и подобрать подходящую формулу. Ошибка в выборе формулы — самая частая причина неверного ответа в этом задании.

Что нужно знать

Для уверенного решения достаточно держать в голове небольшой набор формул и чётко понимать, когда каждая из них применяется.

1. Вероятность противоположного события. Если $A$ — событие, а $\bar{A}$ — его отсутствие, то $$P(\bar{A}) = 1 - P(A).$$ Этим удобно пользоваться, когда прямое вычисление сложнее обратного (например, «хотя бы один» удобнее считать через «ни одного»).

2. Сложение вероятностей несовместных событий. Если события $A$ и $B$ не могут произойти одновременно, то $$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$ Если события совместны (могут произойти вместе), нужна более общая формула: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$

3. Умножение вероятностей независимых событий. Если исход одного события никак не влияет на исход другого, то вероятность того, что произойдут оба, равна произведению вероятностей: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$ Это правило работает и для трёх и более независимых событий: вероятности просто перемножаются.

4. Условная вероятность. Вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$, обозначается $P(A|B)$ и связана с совместной вероятностью формулой $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ Отсюда получается формула умножения для зависимых событий: $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B).$$

5. Формула полной вероятности. Если события $B_1, B_2, \dots, B_n$ образуют полную группу (одно из них обязательно происходит, и они попарно несовместны), а $A$ — некоторое событие, вероятность которого зависит от того, какое из $B_i$ произошло, то $$P(A) = P(A|B_1)\cdot P(B_1) + P(A|B_2)\cdot P(B_2) + \dots + P(A|B_n)\cdot P(B_n).$$ Эта формула — рабочая лошадка задания 5: часто именно её нужно составить и решить как уравнение относительно неизвестной вероятности.

6. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице: $$P(B_1) + P(B_2) + \dots + P(B_n) = 1.$$ Это соотношение почти всегда используется вместе с формулой полной вероятности, чтобы выразить одну неизвестную через другую.

Как решать: метод и алгоритм

Порядок действий почти всегда одинаковый.

1. Выделить события и дать им обозначения. Прочитать условие и явно записать, что означает каждое событие: $A$ — то, что спрашивается в задаче, $B_1, B_2, \dots$ — условия или источники, от которых зависит $A$.
2. Определить характер связи между событиями. Нужно ответить на два вопроса: события совместны или несовместны; события зависимы или независимы. От ответа зависит, какую формулу применять — сложения, умножения или полной вероятности.
3. Проверить, образуют ли события полную группу. Если да, воспользоваться равенством $\sum P(B_i) = 1$, чтобы выразить одну вероятность через другие — это часто необходимо для составления уравнения.
4. Записать формулу полной вероятности (или другую подходящую формулу) в общем виде, подставив в неё известные условные вероятности и обозначив неизвестную величину переменной.
5. Решить полученное уравнение — как правило, это простое линейное уравнение относительно одной неизвестной вероятности.
6. Проверить ответ на здравый смысл: вероятность должна лежать в промежутке от 0 до 1, а если задача просит долю или процент — перевести ответ в нужный вид.

Важно не путать формулу полной вероятности с формулой умножения независимых событий: первая используется, когда $A$ зависит от того, какое из нескольких взаимоисключающих условий выполнено, а вторая — когда два разных события происходят одновременно и не влияют друг на друга.

Разбор примера

Пример 1. Агрофирма закупает куриные яйца только в двух домашних хозяйствах. Известно, что 5% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 30% яиц высшей категории. В этой агрофирме 15% яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Обозначим события: $A$ — яйцо высшей категории, $B_1$ — яйцо из первого хозяйства, $B_2$ — яйцо из второго хозяйства.

По условию даны условные вероятности: $$P(A|B_1) = 0{,}05, \qquad P(A|B_2) = 0{,}3,$$ а также общая вероятность $P(A) = 0{,}15$.

Поскольку агрофирма закупает яйца только у двух хозяйств, события $B_1$ и $B_2$ образуют полную группу: $$P(B_1) + P(B_2) = 1 \ \Rightarrow\ P(B_2) = 1 - P(B_1).$$

Применим формулу полной вероятности: $$P(A) = P(A|B_1)\cdot P(B_1) + P(A|B_2)\cdot P(B_2).$$

Подставим известные значения: $$0{,}15 = 0{,}05\cdot P(B_1) + 0{,}3\cdot (1 - P(B_1)).$$

Раскроем скобки и приведём подобные: $$0{,}15 = 0{,}05\cdot P(B_1) + 0{,}3 - 0{,}3\cdot P(B_1),$$ $$0{,}15 = -0{,}25\cdot P(B_1) + 0{,}3.$$

Перенесём 0,3 влево: $$0{,}15 - 0{,}3 = -0{,}25\cdot P(B_1) \ \Rightarrow\ -0{,}15 = -0{,}25\cdot P(B_1).$$

Разделим обе части на $-0{,}25$: $$P(B_1) = \frac{0{,}15}{0{,}25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0{,}6.$$

Ответ: 0,6. Ключевой момент здесь — вовремя заметить, что события «яйцо из первого хозяйства» и «яйцо из второго хозяйства» образуют полную группу, что позволяет выразить одну неизвестную через другую и получить одно уравнение с одним неизвестным.

Пример 2. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Здесь нужно найти вероятность одновременного выполнения двух независимых условий: последняя цифра чётная и предпоследняя цифра чётная.

Шаг 1. Найдём вероятность того, что одна случайно выбранная цифра (от 0 до 9) окажется чётной. Чётных цифр среди десяти — пять: 0, 2, 4, 6, 8. Значит, $$P(\text{цифра чётная}) = \frac{5}{10} = 0{,}5.$$

Шаг 2. Цифры на разных позициях номера выбираются независимо друг от друга, поэтому для одновременного выполнения двух условий применяем правило умножения вероятностей независимых событий: $$P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B).$$

Шаг 3. Вычислим искомую вероятность: $$P(\text{обе последние цифры чётные}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25.$$

Ответ: 0,25. Эта задача показывает противоположный случай применению формулы полной вероятности: события не связаны условной зависимостью, а просто происходят одновременно и независимо, поэтому достаточно простого умножения.

Типичные ошибки

• Путают несовместность и независимость. Несовместность означает, что события не могут произойти одновременно (тогда вероятности складываются), а независимость — что одно событие не влияет на вероятность другого (тогда вероятности умножаются). Это разные понятия, и подмена одного другим даёт неверную формулу.
• Забывают, что события образуют полную группу. Если в условии сказано «только из двух источников» или «либо то, либо это», нужно сразу использовать равенство $P(B_1) + P(B_2) = 1$, иначе не получится составить решаемое уравнение.
• Складывают вероятности вместо умножения (или наоборот). Например, для «двух чётных цифр подряд» некоторые складывают 0,5 и 0,5, получая неверный ответ 1 вместо произведения 0,25.
• Путают $P(A|B)$ и $P(B|A)$. Условная вероятность несимметрична: вероятность яйца высшей категории при условии, что оно из первого хозяйства, — это не то же самое, что вероятность того, что яйцо из первого хозяйства при условии, что оно высшей категории. Нужно точно определить, какая величина дана в условии, а какая ищется.
• Не проверяют итоговый ответ на диапазон [0; 1]. Если после вычислений получилось число больше 1 или отрицательное, это сигнал об ошибке в формуле или в подстановке.
• Ошибки в алгебраических преобразованиях при решении уравнения из формулы полной вероятности — потеря знака при переносе слагаемых, неверное раскрытие скобок.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как писать формулу, полезно явно сформулировать словами (хотя бы для себя), что означает каждое событие и каждая данная вероятность — это сразу проясняет, какая формула нужна. Если в условии есть фраза вида «только из двух/трёх источников» или «ровно один из вариантов», это почти всегда указывает на полную группу событий и формулу полной вероятности. Если события описываются как происходящие «одновременно», «независимо», «и то, и другое», скорее всего нужно умножение вероятностей; если «либо одно, либо другое, но не оба» — сложение вероятностей несовместных событий. Стоит всегда проверять итоговое числовое значение на правдоподобие: вероятность не может быть меньше 0 или больше 1, а также не должна противоречить смыслу задачи (например, вероятность более редкого события должна получиться меньше, чем более частого). Наконец, при решении уравнений с одной неизвестной вероятностью полезно выполнять промежуточные вычисления аккуратно, не сокращая шаги, — большинство ошибок в этом задании связано именно с невнимательностью на этапе алгебраических преобразований, а не с непониманием теории.