Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Задача на применение формулы Байеса. Нужно найти вероятность того, что был выбран второй кубик, если известен результат двух бросаний.

Шаг 1. Определим исходные данные.

Кубик выбирается случайно: $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$, где $H_1$ — выбран первый кубик, $H_2$ — выбран второй.

Второй кубик имеет грани: 1, 1, 3, 3, 5, 5 (только нечётные числа, каждое по два раза).

Шаг 2. Найдём условные вероятности события A = {выпало 3 и 5 в каком-то порядке}.

Для первого кубика: $$P_{H_1}(A) = P(3 \text{ первый, 5 второй}) + P(5 \text{ первый, 3 второй}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

Для второго кубика (вероятность получить 3 или 5 на одном бросании равна $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$): $$P_{H_2}(A) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$$

Шаг 3. Полная вероятность события A.

$$P(A) = P(H_1) \cdot P_{H_1}(A) + P(H_2) \cdot P_{H_2}(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{36} + \frac{4}{36} = \frac{5}{36}$$

Шаг 4. Формула Байеса.

$$P_A(H_2) = \frac{P(H_2) \cdot P_{H_2}(A)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{9}}{\frac{5}{36}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{36}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{36}{5} = \frac{4}{5} = 0,8$$