Задача 508888. Теоремы о вероятностях событий

Используем формулу Байеса: вероятность того, что выбран второй кубик при условии, что выпали 1 и 2, равна отношению числа благоприятных исходов для второго кубика к общему числу способов получить комбинацию (1; 2).

Для первого кубика: Чтобы в двух бросаниях выпали 1 и 2 в каком-то порядке, возможны два варианта:

• первый бросок: 1, второй: 2
• первый бросок: 2, второй: 1

Вероятность каждого: $P_1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

Общая вероятность выпадения (1; 2) на первом кубике: $P(\text{1 и 2} | \text{кубик 1}) = 2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{2}{36}$

Для второго кубика: На нём числа 1 и 2 по три раза каждое. Чтобы выпали 1 и 2:

• первый бросок выпадает любой из 6 граней, второй — одна из трёх граней с отличным числом
• всего способов: $6 \cdot 3 = 18$

Вероятность каждого способа: $\frac{1}{36}$

Общая вероятность выпадения (1; 2) на втором кубике: $P(\text{1 и 2} | \text{кубик 2}) = 18 \cdot \frac{1}{36} = \frac{18}{36}$

Применяем формулу Байеса: Каждый кубик выбирается с вероятностью $\frac{1}{2}$.

$$P(\text{кубик 2} | \text{1 и 2}) = \frac{P(\text{1 и 2} | \text{кубик 2}) \cdot P(\text{кубик 2})}{P(\text{1 и 2} | \text{кубик 1}) \cdot P(\text{кубик 1}) + P(\text{1 и 2} | \text{кубик 2}) \cdot P(\text{кубик 2})}$$

$$= \frac{\frac{18}{36} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{18}{36} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{18}{2 + 18} = \frac{18}{20} = 0,9$$