Задание 5 ЕГЭ профиль: вероятности сложных событий — теоремы и формулы

Что проверяет задание

Задание 5 проверяет умение работать с составными (сложными) вероятностными событиями — то есть с ситуациями, где итоговый результат зависит от нескольких факторов или этапов. Проверяются:

• понимание условной вероятности и умение применять формулу полной вероятности;
• умение находить неизвестный параметр (долю, вероятность) из уравнения, построенного по смыслу задачи;
• умение определять независимость событий и корректно умножать вероятности;
• умение считать вероятности исходов случайного выбора (цифры, номера, объекты) на основе классического определения вероятности.

Это задание считается одним из самых «формульных» — оно почти не требует творческого перебора, но требует точного понимания, какую теорему применить.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание 5 — короткая текстовая задача с одним числовым ответом (десятичная дробь). Типичные сюжеты:

• две (или больше) «партии товара» с разной долей бракованных/качественных изделий, нужно найти долю из одного источника или итоговую вероятность;
• игра/матч из нескольких партий с разными вероятностями выигрыша в зависимости от условий;
• случайный выбор числа, номера, цифры и вычисление вероятности события, связанного с несколькими позициями (цифрами) одновременно.

За верный ответ даётся 1 балл. Решение не проверяется экспертом — засчитывается только совпадение с эталонным числом, поэтому важна точность вычислений, а не оформление.

Что нужно знать

• Классическое определение вероятности: $P(A) = \dfrac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех равновозможных исходов.
• Вероятность противоположного события: $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
• Теорема сложения вероятностей несовместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Теорема умножения вероятностей независимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Формула полной вероятности: если события $H_1, H_2, \dots, H_n$ образуют полную группу (несовместны и их сумма — всё пространство исходов), то $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A \mid H_i).$$
• Формула Байеса (переоценка вероятности гипотезы при известном результате): $$P(H_i \mid A) = \dfrac{P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)}{P(A)}.$$
• Условная вероятность: $P(A \mid H) = \dfrac{P(A \cap H)}{P(H)}$.
• В задачах про «доли из разных источников» переменная — это доля партии, а не вероятность конкретного изделия; уравнение составляется через формулу полной вероятности.
• В задачах про цифры номера: вероятность того, что случайная цифра принадлежит заданному множеству, равна $\dfrac{\text{число подходящих цифр}}{10}$ (для одной позиции номера).

Методы решения

1. Формула полной вероятности для нахождения доли источника. Если товар поступает из двух хозяйств с долями $x$ и $1-x$, а качество (доля высшей категории) в каждом известно, то итоговая доля высшей категории — это взвешенная сумма. Составляем уравнение и находим $x$. Мини-пример: если из первого хозяйства 5% высшей категории, из второго — 30%, а всего 15%, то $0{,}05x + 0{,}3(1-x) = 0{,}15$, откуда $x = 0{,}6$.

2. Умножение вероятностей независимых событий. Если два (или больше) события не влияют друг на друга, вероятность их одновременного наступления — произведение вероятностей. Мини-пример: вероятность выбросить орла два раза подряд при честной монете — $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.

3. Сложение вероятностей несовместных событий. Если события не могут произойти одновременно (например, «выигрыш» и «поражение»), их вероятности складываются для нахождения вероятности объединения. Мини-пример: вероятность выиграть или сыграть вничью, если $P(\text{выигрыш})=0{,}4$, $P(\text{ничья})=0{,}3$, равна $0{,}7$.

4. Подсчёт вероятностей через классическое определение (равновозможные исходы). Применяется для номеров, кубиков, карт: считаем количество благоприятных исходов и делим на общее число. Мини-пример: вероятность того, что случайная цифра от 0 до 9 — чётная: благоприятных исходов 5 (0,2,4,6,8), всего 10, $P = 0{,}5$.

5. Комбинированные многошаговые схемы (дерево вероятностей). Когда событие складывается из нескольких этапов с разными условиями (например, разные партии игры с разным цветом фигур), удобно представить схему как дерево и на каждом уровне умножать вероятности вдоль нужной ветки, а разные ветки — складывать. Мини-пример: вероятность выиграть первую партию белыми и вторую чёрными — произведение соответствующих вероятностей по разным этапам.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать условие и выделить, сколько «источников», «партий» или «этапов» участвует в задаче.
2. Определить тип задачи: нужно найти итоговую вероятность (полная вероятность), найти неизвестную долю/параметр (уравнение через полную вероятность) или найти вероятность произведения независимых событий.
3. Выписать известные вероятности и условные вероятности в виде формул с обозначениями.
4. Составить нужное уравнение или произведение, аккуратно расставив, какая величина известна, а какая — искомая переменная.
5. Решить уравнение (обычно линейное) или выполнить арифметическое умножение/сложение.
6. Проверить, что ответ — число от 0 до 1 (вероятность не может быть отрицательной или больше 1), и представить его в виде десятичной дроби.

Разбор примеров

Пример 1. Агрофирма закупает яйца в двух хозяйствах. В первом хозяйстве 5% яиц высшей категории, во втором — 30%. В целом по агрофирме доля высшей категории — 15%. Найдите вероятность того, что купленное яйцо — из первого хозяйства.

Шаг 1. Введём переменную: пусть $x$ — доля яиц из первого хозяйства, тогда $(1-x)$ — доля из второго.

Шаг 2. По формуле полной вероятности доля высшей категории по всей агрофирме складывается из вкладов каждого хозяйства: $$P(\text{высшая}) = x \cdot 0{,}05 + (1-x) \cdot 0{,}3.$$

Шаг 3. Подставим известное значение 0,15: $$0{,}05x + 0{,}3(1-x) = 0{,}15.$$

Шаг 4. Раскроем скобки и решим уравнение: $$0{,}05x + 0{,}3 - 0{,}3x = 0{,}15,$$ $$-0{,}25x = 0{,}15 - 0{,}3 = -0{,}15,$$ $$x = \dfrac{-0{,}15}{-0{,}25} = 0{,}6.$$

Ответ: $0{,}6$.

Пример 2. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Шаг 1. Каждая цифра номера выбирается из множества $\{0,1,2,\dots,9\}$ — 10 равновозможных значений.

Шаг 2. Чётных цифр среди них 5 (0, 2, 4, 6, 8), поэтому вероятность того, что одна конкретная цифра чётная: $$P(\text{цифра чётная}) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5.$$

Шаг 3. Цифры номера выбираются независимо друг от друга, поэтому вероятность того, что обе последние цифры чётные, равна произведению: $$P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25.$$

Ответ: $0{,}25$.

Пример 3. Шахматист А. играет белыми с вероятностью выигрыша 0,52 и чёрными с вероятностью выигрыша 0,3. Играются две партии, во второй меняются цвета. Найдите вероятность того, что А. выиграет обе партии.

Шаг 1. Обозначим события: $B$ — А. играл белыми в первой партии и выиграл, $C$ — А. играл чёрными во второй партии и выиграл.

Шаг 2. По условию: $P(B) = 0{,}52$, $P(C) = 0{,}3$.

Шаг 3. Партии независимы (результат одной не влияет на вероятность другой), поэтому вероятность выигрыша в обеих партиях — произведение вероятностей: $$P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = 0{,}52 \cdot 0{,}3.$$

Шаг 4. Вычислим: $$0{,}52 \cdot 0{,}3 = 0{,}156.$$

Ответ: $0{,}156$.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают формулу полной вероятности с формулой Байеса: если в задаче нужно найти саму долю источника (как в примере 1), достаточно составить одно линейное уравнение через полную вероятность, без деления на итоговую вероятность.
• Складывают вероятности вместо умножения там, где события должны происходить одновременно (совместно), и наоборот — умножают, когда события несовместны.
• Забывают, что при подсчёте вероятностей цифр номера телефона все 10 цифр равновозможны, включая 0.
• Неправильно определяют независимость событий: в задачах про игры с разным цветом фигур важно понимать, что вероятность выигрыша в разных партиях зависит от цвета, но сами партии остаются независимыми друг от друга.
• Допускают арифметические ошибки при работе с десятичными дробями — рекомендуется переводить в обычные дроби для проверки (например, $0{,}05 = \frac{1}{20}$).
• Забывают проверить итоговый ответ на разумность: вероятность не может быть меньше 0 или больше 1.

Как готовиться

• Заведите таблицу формул (полная вероятность, Байес, произведение и сумма вероятностей) и решайте по 5–10 задач каждого типа, явно определяя перед решением, какая формула подходит.
• Отдельно потренируйтесь на задачах «найти долю источника» — их часто путают с задачами на итоговую вероятность.
• Разбирайте задачи на независимость событий: рисуйте дерево вероятностей для многоэтапных сюжетов (игры, испытания, тесты).
• Решайте задачи на цифры и номера — они относительно простые, но требуют аккуратного подсчёта благоприятных исходов.
• После каждой решённой задачи проверяйте ответ на здравый смысл: сравнивайте вероятность с интуитивным ожиданием (например, вероятность выиграть подряд две партии должна быть меньше вероятности выиграть хотя бы одну).
• Регулярно прорешивайте новые задачи из банка заданий, чтобы видеть разные формулировки одних и тех же теорем — это снижает риск растеряться на экзамене от непривычной формулировки.