Задание 5 ЕГЭ: вероятности сложных событий — гайд с разбором

О чём эта подтема

Задание 5 в новых вариантах банка MathЕГЭ проверяет умение работать с сложными вероятностными событиями — то есть событиями, которые складываются из нескольких независимых испытаний. Это не про одно бросание монеты или кубика, а про серию однотипных испытаний: несколько бросков монеты, несколько бросков кубика, несколько попыток сыграть в игру и так далее.

Главные сюжеты, которые встречаются в этой подтеме:

• вычисление вероятности ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний (биномиальная схема);
• сравнение вероятностей двух разных исходов такой серии (во сколько раз одно событие вероятнее другого);
• вычисление вероятности события «хотя бы один раз» при нескольких попытках.

Задание считается одним из самых предсказуемых по структуре: если один раз разобраться с формулой Бернулли и с приёмом «через противоположное событие», дальше остаётся только аккуратно считать.

Что нужно знать

Для решения задания 5 достаточно твёрдо знать три вещи.

1. Независимые испытания и формула Бернулли. Если испытание повторяется $n$ раз независимо, в каждом испытании вероятность «успеха» равна $p$, а вероятность «неудачи» равна $q = 1-p$, то вероятность того, что успех наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле: $$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k},$$ где $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Эта формула — основа почти всех задач с монетами и кубиками, где спрашивают про «ровно столько-то» исходов.

2. Сравнение двух вероятностей одной схемы. Если нужно сравнить $P_n(k_1)$ и $P_n(k_2)$ (вероятности разного числа успехов в одной и той же серии испытаний), то множители $p$ и $q$ входят в обе вероятности, но в разных степенях, поэтому отношение вероятностей упрощается. Часто удобно сразу писать отношение: $$\frac{P_n(k_1)}{P_n(k_2)} = \frac{C_n^{k_1} \cdot p^{k_1} \cdot q^{n-k_1}}{C_n^{k_2} \cdot p^{k_2} \cdot q^{n-k_2}}.$$ Если $p = q = 0{,}5$ (симметричная монета), то степени $p$ и $q$ в сумме всегда равны $n$, и в отношении остаются только биномиальные коэффициенты: $$\frac{P_n(k_1)}{P_n(k_2)} = \frac{C_n^{k_1}}{C_n^{k_2}}.$$ Это сильно упрощает вычисления и часто позволяет обойтись без степеней вообще.

3. Вероятность «хотя бы один раз» через противоположное событие. Если есть $n$ независимых попыток, и в каждой попытке вероятность «удачи» равна $p$, то вероятность того, что удача случится хотя бы один раз, находится через дополнение: $$P(\text{хотя бы один раз}) = 1 - P(\text{ни разу}) = 1 - (1-p)^n.$$ Это ключевой приём: считать «ни разу» почти всегда проще, чем напрямую считать «хотя бы раз», потому что «ни разу» — это произведение вероятностей неудачи в каждой попытке (события независимы).

Дополнительно нужно уверенно считать элементарную вероятность отдельного события — например, вероятность конкретной комбинации при броске двух костей (всего $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов), и не путать понятия «упорядоченная пара» и «неупорядоченная пара».

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задания 5 распадается на два основных сценария в зависимости от формулировки.

Сценарий А. «Ровно $k$ успехов» или сравнение двух таких вероятностей.

1. Определите $n$ — число независимых испытаний, и $p$ — вероятность успеха в одном испытании (обычно указана явно или следует из условия, например $p=0{,}5$ для симметричной монеты).
2. Запишите формулу Бернулли для каждого нужного значения $k$.
3. Если требуется сравнить две вероятности — составьте отношение $\dfrac{P_n(k_1)}{P_n(k_2)}$ и сократите одинаковые множители (степени $p$ и $q$), если это возможно.
4. Вычислите биномиальные коэффициенты через факториалы или через треугольник Паскаля.
5. Доведите вычисление до числа, при необходимости округлите как указано в условии.

Сценарий Б. «Хотя бы один раз при нескольких попытках».

1. Найдите вероятность $p$ одного «целевого» исхода в одной попытке — обычно это отношение числа благоприятных элементарных исходов к общему числу исходов.
2. Проверьте, не нужно ли учесть несколько благоприятных комбинаций (например, порядок выпадения чисел на двух костях может быть важен — считайте упорядоченные пары).
3. Найдите вероятность неудачи в одной попытке: $q = 1-p$.
4. Определите число попыток $n$.
5. Примените формулу дополнения: $P = 1 - q^n$.
6. Округлите результат согласно требованию задания.

Общая рекомендация: прежде чем считать, чётко сформулируйте, что такое «одна попытка» в задаче и сколько таких попыток совершается. Ошибка в определении $n$ или $p$ — самая частая причина неверного ответа.

Разбор примера

Пример 1. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Шаг 1. Определяем параметры схемы. Число испытаний $n = 10$, вероятность успеха (орла) в одном броске $p = 0{,}5$, вероятность неудачи (решки) тоже $q = 0{,}5$, так как монета симметрична.

Шаг 2. Записываем формулу Бернулли для обоих событий. $$P_{10}(5) = C_{10}^{5} \cdot (0{,}5)^5 \cdot (0{,}5)^5 = C_{10}^{5} \cdot (0{,}5)^{10},$$ $$P_{10}(4) = C_{10}^{4} \cdot (0{,}5)^4 \cdot (0{,}5)^6 = C_{10}^{4} \cdot (0{,}5)^{10}.$$

Шаг 3. Составляем отношение. Поскольку множитель $(0{,}5)^{10}$ одинаков в обеих вероятностях, он сокращается: $$\frac{P_{10}(5)}{P_{10}(4)} = \frac{C_{10}^{5}}{C_{10}^{4}}.$$

Шаг 4. Вычисляем биномиальные коэффициенты. $$C_{10}^{5} = \frac{10!}{5!\,5!} = 252, \qquad C_{10}^{4} = \frac{10!}{4!\,6!} = 210.$$

Шаг 5. Находим отношение. $$\frac{252}{210} = 1{,}2.$$

Ответ: вероятность выпадения ровно 5 орлов больше вероятности выпадения ровно 4 орлов в 1,2 раза.

Пример 2. В ресторане предлагают сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если хотя бы один раз из двух попыток выпадет комбинация 5 и 6 очков, гость получает комплимент. Найти вероятность получить комплимент. Ответ округлить до сотых.

Шаг 1. Находим вероятность успеха в одной попытке. При одновременном броске двух костей всего исходов $6 \times 6 = 36$, все они равновозможны, и кости различимы (можно считать, что одна кость первая, другая — вторая). Комбинация «5 и 6 очков» реализуется двумя упорядоченными парами: $(5,6)$ и $(6,5)$. Значит, число благоприятных исходов равно 2, и вероятность в одном броске: $$p = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.$$

Шаг 2. Находим вероятность неудачи в одной попытке. $$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}.$$

Шаг 3. Определяем число попыток. По условию у гостя две попытки, то есть $n = 2$.

Шаг 4. Применяем формулу «хотя бы один раз». $$P(\text{хотя бы один раз}) = 1 - q^n = 1 - \left(\frac{17}{18}\right)^2.$$

Шаг 5. Вычисляем. $$\left(\frac{17}{18}\right)^2 = \frac{289}{324}, \qquad 1 - \frac{289}{324} = \frac{35}{324} \approx 0{,}1080\ldots$$

Округляя до сотых, получаем $P \approx 0{,}11$.

Ответ: вероятность получить комплимент составляет 0,11.

Типичные ошибки

• Путаница между «ровно $k$» и «хотя бы $k$». Это принципиально разные формулы: первая — одно слагаемое биномиального распределения, вторая требует суммирования или перехода к дополнению.
• Неверный подсчёт благоприятных исходов в элементарном опыте. Например, при броске двух костей важно понимать, различимы ли кости: если результат «5 и 6» может получиться как $(5,6)$, так и $(6,5)$, то оба варианта нужно учитывать, иначе вероятность занизится вдвое.
• Забытое возведение вероятности неудачи в степень числа попыток. При использовании формулы $1-(1-p)^n$ иногда по невнимательности подставляют $n$ вместо $q^n$, то есть забывают, что каждая из $n$ попыток независима и вероятности неудач перемножаются.
• Ошибки в вычислении биномиальных коэффициентов. Особенно при устном счёте легко перепутать $C_n^k$ и $C_n^{n-k}$ или ошибиться в факториалах — стоит перепроверять через треугольник Паскаля или свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$.
• Неправильное округление. Нужно внимательно читать условие: если сказано «округлить до сотых», ответ должен иметь ровно два знака после запятой, а не быть обычной дробью.
• Смешивание вероятности одного испытания с вероятностью серии. Иногда забывают, что $p$ — это вероятность в одной попытке, а не во всей серии, и подставляют в формулу Бернулли или в формулу дополнения не то число.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как считать, чётко выпишите на черновике три величины: число испытаний $n$, вероятность успеха в одном испытании $p$ и то, что именно спрашивается — «ровно», «хотя бы один раз» или отношение двух вероятностей. Это экономит время и снижает риск подставить не ту формулу.

Если монета или кубик «симметричные» — вероятности равны $0{,}5$ или $\dfrac{1}{6}$ соответственно, и в задачах на сравнение двух биномиальных вероятностей с одинаковыми $n$ и $p=0{,}5$ можно сразу переходить к отношению биномиальных коэффициентов, не считая степени.

В задачах на «хотя бы один раз» сразу проверяйте, не проще ли считать вероятность противоположного события — «ни разу». В подавляющем большинстве случаев это в разы упрощает вычисления, особенно когда попыток две или три.

При подсчёте благоприятных исходов в опытах с костями или монетами будьте аккуратны с порядком: если событие описывается как «выпало 5 и 6», а кости различимы (например, бросаются одновременно, но это разные объекты), то нужно учитывать обе перестановки. Если бы событие формулировалось как «сумма очков равна 11», то результат совпал бы, но подход к подсчёту исходов остаётся тем же — через все 36 равновозможных пар.

Наконец, проверяйте округление в самом конце: сначала доведите вычисления до точной дроби или достаточного числа знаков после запятой, и только на последнем шаге округляйте так, как требует условие.