Задача 663473. Новые задания банка MathЕГЭ

Всего в коробке 10 шаров (7 красных и 3 синих). Нужно найти вероятность того, что при извлечении 5 шаров среди них окажется не более 3 красных, то есть 2 или 3 красных шара.

Способ через комбинаторику:

Общее число способов выбрать 5 шаров из 10: $$C_{10}^5 = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252$$

Условию «не более 3 красных» удовлетворяют два случая:

1. 3 красных и 2 синих: $$C_7^3 \cdot C_3^2 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 35 \cdot 3 = 105$$

2. 2 красных и 3 синих: $$C_7^2 \cdot C_3^3 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot 1 = 21 \cdot 1 = 21$$

Число благоприятных исходов: $105 + 21 = 126$

Искомая вероятность: $$P = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} = 0,5$$