ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 5Новые задания банка MathЕГЭ

Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Новые задания банка MathЕГЭ

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 56.3.1 Вероятности событий

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-⁠тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-⁠тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

В подтеме 15 задач
Разбор
Главная идея: Используется формула Байеса: условная вероятность заболевания при положительном тесте равна отношению вероятности положительного теста у больного к полной вероятности положительного теста, которая находится через уравнение на исходную долю болеющих.

Обозначим событие AA — пациент болен, событие BB — тест положительный. Нужно найти условную вероятность P(A∣B)P(A|B) — вероятность того, что пациент действительно болен при положительном результате теста.

Шаг 1. Найдём исходную вероятность заболевания.

Пусть P(A)=xP(A) = x — вероятность, что пациент болен. Тогда P(A‾)=1−xP(\overline{A}) = 1 - x — вероятность, что здоров.

Шаг 2. Выразим вероятность положительного теста через полную вероятность.

Тест положителен в двух случаях:

  • Пациент болен И тест это выявляет: P(B∣A)=0,86P(B|A) = 0,86, поэтому P(AB)=x⋅0,86P(AB) = x \cdot 0,86
  • Пациент здоров, но тест ошибается: P(B∣A‾)=1−0,94=0,06P(B|\overline{A}) = 1 - 0,94 = 0,06, поэтому P(BA‾)=(1−x)⋅0,06P(B\overline{A}) = (1-x) \cdot 0,06

Полная вероятность положительного теста: P(B)=0,86x+0,06(1−x)=0,1P(B) = 0,86x + 0,06(1-x) = 0,1

Шаг 3. Найдём xx.

0,86x+0,06−0,06x=0,10,86x + 0,06 - 0,06x = 0,1 0,8x=0,040,8x = 0,04 x=0,05x = 0,05

Значит, среди направленных на тест 5% действительно болеют.

Шаг 4. Применим формулу Байеса.

P(A∣B)=P(AB)P(B)=0,05⋅0,860,1=0,0430,1=0,43P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0,05 \cdot 0,86}{0,1} = \frac{0,043}{0,1} = 0,43

Итак, вероятность того, что пациент с положительным тестом действительно болен, составляет 43%.

Типичные ошибки

  • Перепутать условные вероятности P(B∣A)P(B|A) и P(A∣B)P(A|B) — первая задана в условии (86%), вторую нужно найти
  • Забыть, что вероятность ложноположительного результата равна 1−0,94=0,061 - 0,94 = 0,06, а не 0,94
  • Не составить уравнение через полную вероятность события BB и не найти предварительно вероятность xx заболевания в популяции
Непонятно?

Похожие задачи