Задача 663475. Новые задания банка MathЕГЭ

Условие «потребовалось 11 выстрелов, чтобы сбить восемь мишеней» означает, что последний (11-й) выстрел был попаданием. За первые 10 выстрелов стрелок поразил ровно 7 мишеней, промахнулся ровно 3 раза.

Ключевое наблюдение о симметрии: Поскольку вероятность попадания одинакова при каждом выстреле, можно разделить 10 выстрелов на две группы по 5 выстрелов. За эти 10 выстрелов всего 7 попаданий и 3 промаха.

Обозначим события:

• Событие A: в первых 5 выстрелах 5 попаданий → во вторых 5 выстрелах 2 попадания
• Событие B: в первых 5 выстрелах 4 попадания → во вторых 5 выстрелах 3 попадания
• Событие C: в первых 5 выстрелах 3 попадания → во вторых 5 выстрелах 4 попадания
• Событие D: в первых 5 выстрелах 2 попадания → во вторых 5 выстрелах 5 попаданий

По симметрии (одинаковые вероятности попаданий) события А и D равновероятны, события B и C равновероятны. Пусть $P(A) = P(D) = x$ и $P(B) = P(C) = y$.

Поскольку эти события исчерпывают все возможности: $$P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 2x + 2y = 1$$

Отсюда $x + y = 0,5$.

Искомое событие — «первыми пятью выстрелами не менее 4 попаданий» — это объединение событий A и B: $$P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) = x + y = 0,5$$