Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Новые задания банка MathЕГЭ

Используем формулу Бернулли для вероятности того, что в $n$ испытаниях произойдёт ровно $k$ успехов:

$$P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

здесь $n = 10$, $p = \frac{1}{2}$ (вероятность орла в одном броске).

Вероятность ровно 5 орлов: $$P(A) = C_{10}^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = C_{10}^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$

Вероятность ровно 4 орлов: $$P(B) = C_{10}^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = C_{10}^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$

Находим отношение: $$\frac{P(A)}{P(B)} = \frac{C_{10}^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{C_{10}^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10}} = \frac{C_{10}^5}{C_{10}^4}$$

Проводим вычисление через факториалы: $$\frac{C_{10}^5}{C_{10}^4} = \frac{\frac{10!}{5! \cdot 5!}}{\frac{10!}{4! \cdot 6!}} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{4! \cdot 6!}{10!} = \frac{4! \cdot 6!}{5! \cdot 5!}$$

Упрощаем: $5! = 5 \cdot 4!$ и $6! = 6 \cdot 5!$ $$\frac{4! \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4! \cdot 5!} = \frac{6}{5} = 1,2$$