Задача 508876. Новые задания банка MathЕГЭ

Обозначим через $P(A)$ вероятность того, что начиная из нуля, последовательность когда-нибудь достигнет значения $−1$. Через $P(B)$ обозначим вероятность того, что начиная из единицы, последовательность достигнет $−1$.

Шаг 1: Составляем уравнение для $P(A)$.

Из точки 0 возможны два исхода:

• С вероятностью 0,2 делаем шаг влево и сразу попадаем в $−1$ ✓
• С вероятностью 0,8 делаем шаг вправо в точку 1, а затем нужна вероятность достичь $−1$ из точки 1

Получаем: $$P(A) = 0,2 + 0,8 \cdot P(B)$$

Шаг 2: Связываем $P(B)$ с $P(A)$.

Чтобы из точки 1 попасть в точку $−1$, нужно пройти через точку 0 (единственный путь вниз). Дойти из 1 до 0 — это то же самое, что дойти из 0 до $−1$ (смещаемся на 1 влево). Дойти из 0 до $−1$ тоже происходит с вероятностью $P(A)$.

Кроме того, нужно снова дойти из 0 до $−1$. Поскольку шаги независимы: $$P(B) = P(A) \cdot P(A) = P(A)^2$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Подставляем второе соотношение в первое: $$P(A) = 0,2 + 0,8 \cdot P(A)^2$$ $$0,8 \cdot P(A)^2 - P(A) + 0,2 = 0$$

Умножаем на 10: $8 P(A)^2 - 10 P(A) + 2 = 0$

По формуле: $$P(A) = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{16} = \frac{10 \pm 6}{16}$$

Получаем два корня: $P(A) = 1$ или $P(A) = \frac{1}{4} = 0,25$

Шаг 4: Выбираем физически обоснованный ответ.

Поскольку вероятность движения вправо (0,8) существенно больше вероятности движения влево (0,2), случайное блуждание в среднем уходит в положительную сторону. Попасть в $−1$ возможно, но не достоверно. Поэтому $P(A) = 1$ отвергается.

Ответ: $0,25$