Задача 508830. Новые задания банка MathЕГЭ

Обозначим вероятность попадания $p = 0{,}2$, тогда вероятность промаха $q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

Стрелок поразит цель, если произойдёт хотя бы одно попадание из $n$ выстрелов. Проще считать через противоположное событие: вероятность того, что стрелок промахнётся все $n$ раз, равна $0{,}8^n$.

Вероятность поразить цель за $n$ выстрелов: $$P(\text{попадание}) = 1 - 0{,}8^n$$

Нам нужно, чтобы эта вероятность была не менее $0{,}6$: $$1 - 0{,}8^n \geq 0{,}6$$ $$0{,}8^n \leq 0{,}4$$

Теперь проверим значения $n$:

• $n = 2$: $0{,}8^2 = 0{,}64 > 0{,}4$ — недостаточно
• $n = 3$: $0{,}8^3 = 0{,}512 > 0{,}4$ — недостаточно
• $n = 4$: $0{,}8^4 = 0{,}4096 > 0{,}4$ — недостаточно (совсем близко!)
• $n = 5$: $0{,}8^5 = 0{,}32768 < 0{,}4$ — достаточно ✓

При $n = 5$ условие $0{,}8^n \leq 0{,}4$ впервые выполняется. Значит, наименьшее количество патронов — 5.