ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 5Новые задания банка MathЕГЭ

Задача 508870. Новые задания банка MathЕГЭ

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 56.3.1 Вероятности событий

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга  — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-⁠то туре придётся сыграть друг с другом?

В подтеме 15 задач
Разбор
Главная идея: Друзья встретятся в турнире только если они не встречаются в каждом предыдущем туре, оба побеждают, и затем попадают в одну сетку следующего тура — нужно суммировать вероятности независимых событий встречи в каждом из четырёх туров.

В турнире 16 игроков, четыре тура: в каждом туре играют 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Иван и Алексей могут встретиться в одном из четырёх туров. Найдём вероятность встречи в каждом туре отдельно.

Тур 1 (16 игроков): Иван может быть обоснован с любым из 15 противников с равной вероятностью. Вероятность встретиться с Алексеем: P(A)=115P(A) = \frac{1}{15}

Тур 2: Они не встретились в туре 1 (вероятность 1415\frac{14}{15}), оба выиграли свои матчи (вероятность 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}), и случайно оказались в одной половине турнира из 8 игроков (вероятность 17\frac{1}{7}). P(B)=1415⋅14⋅17=130P(B) = \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{30}

Тур 3: Они не встретились в турах 1–2 (вероятность 1415⋅14⋅67\frac{14}{15} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7}), оба выиграли во втором туре (вероятность 14\frac{1}{4}), и оказались в одной четвёрке из 4 игроков (вероятность 13\frac{1}{3}). P(C)=1415⋅14⋅67⋅14⋅13=160P(C) = \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{60}

Тур 4: Они не встретились в турах 1–3, оба выиграли в третьем туре (вероятность 14\frac{1}{4}). P(D)=1415⋅14⋅67⋅14⋅23⋅14=1120P(D) = \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{120}

Итоговая вероятность: P=115+130+160+1120=8+4+2+1120=15120=18=0,125P = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} + \frac{1}{120} = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{120} = \frac{15}{120} = \frac{1}{8} = 0,125

Типичные ошибки

  • Забывают, что при встрече в следующем туре требуется, чтобы оба игрока выиграли в предыдущем туре, каждый с вероятностью 0,5
  • Ошибка в расчёте вероятности попадания в одну половину/четвёрку: вероятность не равна 1/2, нужно учитывать количество оставшихся противников
  • Забывают суммировать вероятности встреч во всех возможных турах, а не перемножают их

Ещё задачи этой подтемы