Задача 508893. Теоремы о вероятностях событий

Используем формулу полной вероятности и теорему Байеса. Обозначим событие $A$ — «выпали 5 и 6 в каком-то порядке», $K_1$ — «выбран первый кубик», $K_2$ — «выбран второй кубик».

Шаг 1: Найдём $P(A|K_1)$ — вероятность события $A$ при первом кубике.

На обычном кубике 5 и 6 встречаются по одному разу. Чтобы получить 5 и 6 в каком-то порядке, нужно: либо при первом броске выпасть 5, а при втором — 6, либо наоборот. Всего 2 благоприятных исхода из $6 \times 6 = 36$ возможных.

$$P(A|K_1) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

Шаг 2: Найдём $P(A|K_2)$ — вероятность события $A$ при втором кубике.

На втором кубике числа 5 и 6 встречаются по три раза каждое, остальные числа — по одному разу. Чтобы получить одно число пять раз и одно число шесть раз: при первом броске выпадает любая из 6 граней, при втором — одна из трёх граней с числом, отличным от выпавшего. Всего $6 \times 3 = 18$ благоприятных исходов.

$$P(A|K_2) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Применим теорему Байеса.

Поскольку кубик выбирается случайно: $P(K_1) = P(K_2) = 0{,}5$. По формуле Байеса:

$$P(K_2|A) = \frac{P(A|K_2) \cdot P(K_2)}{P(A|K_1) \cdot P(K_1) + P(A|K_2) \cdot P(K_2)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0{,}5}{\frac{1}{18} \cdot 0{,}5 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}5} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{36} + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{10}{36}} = \frac{9}{10} = 0{,}9$$