ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 5Теоремы о вероятностях событий

Задача 508890. Теоремы о вероятностях событий

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 56.3.1 Вероятности событий6.3.2 Использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-⁠то порядке выпали 1 и 2 очка. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

В подтеме 59 задач
Разбор
Главная идея: Нужно сравнить условные вероятности получить 1 и 2 для каждого кубика отдельно и применить формулу Байеса, учитывая, что события 1 и 2 гораздо более вероятны на втором кубике.

Используем формулу Байеса. Обозначим событие AA = «выпали 1 и 2 в каком-то порядке», событие B1B_1 = «выбран первый кубик», B2B_2 = «выбран второй кубик».

Шаг 1. Подсчитаем количество благоприятных исходов для первого кубика.

На обычном кубике чтобы получить 1 и 2 в разном порядке: либо первый бросок даёт 1, второй даёт 2, либо наоборот. Это 2 способа из 6×6=366 \times 6 = 36 возможных пар. Вероятность: P(A∣B1)=236=118P(A|B_1) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.

Шаг 2. Подсчитаем количество благоприятных исходов для второго кубика.

На втором кубике каждого числа (1, 2, 3, 4, 5, 6) по три грани. Чтобы выпали 1 и 2: первый бросок может быть любой из 6 чисел (6 вариантов), второй бросок должен быть из трёх граней с другим числом (3 варианта). Всего 6×3=186 \times 3 = 18 способов из 36. Вероятность: P(A∣B2)=1836=12P(A|B_2) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}.

Шаг 3. Применим формулу Байеса.

Вероятности выбрать кубик: P(B1)=P(B2)=0,5P(B_1) = P(B_2) = 0,5.

P(B1∣A)=P(A∣B1)⋅P(B1)P(A∣B1)⋅P(B1)+P(A∣B2)⋅P(B2)=118⋅0,5118⋅0,5+12⋅0,5P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1) \cdot P(B_1)}{P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2)} = \frac{\frac{1}{18} \cdot 0,5}{\frac{1}{18} \cdot 0,5 + \frac{1}{2} \cdot 0,5}

=136136+14=1361+936=110=0,1= \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{36} + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1 + 9}{36}} = \frac{1}{10} = 0,1

Типичные ошибки

  • Ошибка в подсчёте исходов: забыли, что на втором кубике одно число встречается 3 раза, поэтому второй бросок не может дать любое число, а только из трёх оставшихся граней.
  • Неправильное применение формулы полной вероятности: вычислили только P(A∣B1)P(A|B_1) и P(A∣B2)P(A|B_2), но забыли разделить на общую вероятность события AA.
  • Путаница в условной вероятности: не учли исходные вероятности выбора кубика P(B1)=P(B2)=0,5P(B_1) = P(B_2) = 0,5 при применении формулы Байеса.

Похожие задачи (другие числа)