Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Используем формулу полной вероятности и теорему Байеса. Обозначим событие A — выпали 4 и 6 в каком-то порядке, $H_1$ — выбран первый кубик, $H_2$ — выбран второй кубик.

Шаг 1: Найдём вероятность события A при выборе первого кубика.

На обычном кубике числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 встречаются по одному разу. Событие A реализуется в двух случаях: сначала 4, потом 6 или сначала 6, потом 4.

$$P(A|H_1) = P(4, затем 6) + P(6, затем 4) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}$$

Шаг 2: Найдём вероятность события A при выборе второго кубика.

На втором кубике числа 2, 4, 6 повторяются по два раза каждое (всего 6 граней: две с 2, две с 4, две с 6). Для получения 4 и 6:

• первый бросок выпадает 4 (вероятность $\frac{2}{6}$), второй бросок выпадает 6 (вероятность $\frac{2}{6}$)
• первый бросок выпадает 6 (вероятность $\frac{2}{6}$), второй бросок выпадает 4 (вероятность $\frac{2}{6}$)

$$P(A|H_2) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36}$$

Шаг 3: Применим теорему Байеса.

Кубик выбирается случайно, поэтому $P(H_1) = P(H_2) = 0,5$.

$$P(H_2|A) = \frac{P(A|H_2) \cdot P(H_2)}{P(A|H_1) \cdot P(H_1) + P(A|H_2) \cdot P(H_2)} = \frac{\frac{8}{36} \cdot 0,5}{\frac{2}{36} \cdot 0,5 + \frac{8}{36} \cdot 0,5}$$

Сокращаем на $\frac{0,5}{36}$:

$$P(H_2|A) = \frac{8}{2 + 8} = \frac{8}{10} = 0,8$$