Задача 508892. Теоремы о вероятностях событий

Используем формулу условной вероятности [Байеса]: $P(\text{первый кубик} \mid \text{выпали 4 и 6}) = \frac{P(\text{4 и 6} \mid \text{первый}) \cdot P(\text{первый})}{P(\text{4 и 6})}$

Шаг 1. Анализ кубиков

• Первый кубик: стандартный, грани 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Второй кубик: грани 2, 2, 4, 4, 6, 6 (только чётные, каждое по 2 раза)

Шаг 2. Вероятность выбрать кубик $P(\text{первый}) = P(\text{второй}) = 0,5$

Шаг 3. Вероятность получить 4 и 6 с первого кубика Два способа: сначала 4 потом 6, или сначала 6 потом 4. $P(\text{4 и 6} \mid \text{первый}) = P(4) \cdot P(6) + P(6) \cdot P(4) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}$

Шаг 4. Вероятность получить 4 и 6 со второго кубика Первый бросок даёт 4 (вероятность $\frac{2}{6}$), второй должен дать 6 (вероятность $\frac{2}{6}$). Или наоборот. $P(\text{4 и 6} \mid \text{второй}) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{36}$

Шаг 5. Полная вероятность события $P(\text{4 и 6}) = P(\text{4 и 6} \mid \text{первый}) \cdot 0,5 + P(\text{4 и 6} \mid \text{второй}) \cdot 0,5 = \frac{2}{36} \cdot 0,5 + \frac{8}{36} \cdot 0,5 = \frac{10}{72}$

Шаг 6. Условная вероятность $P(\text{первый} \mid \text{4 и 6}) = \frac{\frac{2}{36} \cdot 0,5}{\frac{10}{72}} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{10}{72}} = \frac{1}{36} \cdot \frac{72}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$