Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Сначала найдём вероятность того, что станок не сломается: $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Для решения используем формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n = 6$ — число станков, $p = \frac{1}{3}$ — вероятность поломки, $q = \frac{2}{3}$ — вероятность того, что станок не сломается.

Вероятность ровно 2 поломок: $$P_6(2) = C_6^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^4$$

Вычислим $C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15$.

Тогда: $P_6(2) = 15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4$

Вероятность ровно 3 поломок: $$P_6(3) = C_6^3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^3$$

Вычислим $C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20$.

Тогда: $P_6(3) = 20 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3$

Найдём отношение: $$\frac{P_6(2)}{P_6(3)} = \frac{15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4}{20 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3}$$

Сокращаем: $\left(\frac{1}{3}\right)^2$ и $\left(\frac{2}{3}\right)^3$.

$$= \frac{15}{20} \cdot \frac{\left(\frac{2}{3}\right)}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{3}{4} \cdot 2 = 1,5$$