ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 5Теоремы о вероятностях событий

Задача 508792. Теоремы о вероятностях событий

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 56.3.1 Вероятности событий6.3.2 Использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Правильный игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма выпавших при всех бросках очков не стала больше чем 3. Известно, что общая сумма очков оказалась равна 4. Какова вероятность того, что был сделан ровно один бросок? Ответ округлите до сотых.

В подтеме 59 задач
Разбор
Главная идея: Используем формулу условной вероятности: вероятность одного броска при условии суммы 4 равна отношению вероятности выпадения четвёрки к сумме вероятностей всех способов получить 4 очка.

Нужно найти условную вероятность того, что был ровно один бросок, при условии что сумма равна 4.

Сначала найдём все способы получить сумму 4:

  • Один бросок: выпадает 4 — вероятность 16\frac{1}{6}
  • Два броска: (1,3), (3,1), (2,2) — вероятность каждого 162\frac{1}{6^2}, всего 3 способа
  • Три броска: (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1) — вероятность каждого 163\frac{1}{6^3}, всего 3 способа
  • Четыре броска: (1,1,1,1) — вероятность 164\frac{1}{6^4}, всего 1 способ

Вероятность события A (сумма равна 4): P(A)=16+362+363+164=63+3⋅62+3⋅6+164=216+108+18+11296=3431296P(A) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6^2} + \frac{3}{6^3} + \frac{1}{6^4} = \frac{6^3 + 3 \cdot 6^2 + 3 \cdot 6 + 1}{6^4} = \frac{216 + 108 + 18 + 1}{1296} = \frac{343}{1296}

Заметим, что 343=73343 = 7^3 и 1296=641296 = 6^4.

Вероятность события AB (ровно один бросок И сумма равна 4): P(AB)=16P(AB) = \frac{1}{6}

Применим формулу условной вероятности: P(B∣A)=P(AB)P(A)=1634364=16⋅64343=63343=216343≈0,6297P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{343}{6^4}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6^4}{343} = \frac{6^3}{343} = \frac{216}{343} \approx 0,6297

Округляя до сотых: 0,63

Типичные ошибки

  • Забыли применить формулу условной вероятности и считали просто отношение благоприятных исходов к общему числу исходов кубика
  • Неправильно подсчитали количество способов получить сумму 4 (например, забыли перестановки или неверно считали перестановки)
  • Ошибка в вычислении дроби 216/343 или её десятичного приближения, особенно при округлении

Похожие задачи (другие числа)