Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Задача требует найти условную вероятность: вероятность того, что было два броска, при условии, что сумма равна 3.

Шаг 1: Определяем все способы получить сумму 3.

Процесс продолжается, пока сумма $\le 2$. Остановка происходит, когда сумма впервые становится $> 2$.

Возможные последовательности, дающие итоговую сумму 3:

• Один бросок: выпадает 3 (вероятность $\frac{1}{6}$)
• Два броска: (1,2) или (2,1) (вероятности $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ каждая)
• Три броска: (1,1,1) (вероятность $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$)

Четвёртый бросок невозможен: после трёх единиц сумма равна 3, процесс уже остановлен.

Шаг 2: Вычисляем полную вероятность события "сумма = 3".

$$P(\text{сумма} = 3) = \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{216}$$

Приводим к общему знаменателю 216: $$P(\text{сумма} = 3) = \frac{36}{216} + \frac{12}{216} + \frac{1}{216} = \frac{49}{216}$$

Шаг 3: Вычисляем вероятность события "два броска И сумма = 3".

Это происходит, когда выпадают (1,2) или (2,1): $$P(\text{два броска и сумма} = 3) = 2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{12}{216}$$

Шаг 4: Применяем формулу условной вероятности.

$$P(\text{два броска} \mid \text{сумма} = 3) = \frac{P(\text{два броска и сумма} = 3)}{P(\text{сумма} = 3)} = \frac{\frac{12}{216}}{\frac{49}{216}} = \frac{12}{49} \approx 0{,}2448$$

Округляя до сотых: 0,24.