Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Обозначим события:

• $A$ — чай закончился в первом автомате
• $B$ — чай закончился во втором автомате

Дано:

• $P(A) = 0,3$
• $P(B) = 0,3$
• $P(A \cap B) = 0,13$ (чай закончился в обоих)

Шаг 1. Найдём вероятность того, что чай закончится хотя бы в одном автомате.

Применяем формулу сложения вероятностей совместных событий: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Подставляем значения: $$P(A \cup B) = 0,3 + 0,3 - 0,13 = 0,47$$

Эта вероятность охватывает три случая: чай закончился только в первом, только во втором или в обоих.

Шаг 2. Найдём вероятность того, что чай закончится ровно в одном автомате.

Чтобы получить только события «в одном, но не в другом», нужно из вероятности «хотя бы в одном» вычесть вероятность «в обоих»: $$P(\text{ровно в одном}) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$$

$$P(\text{ровно в одном}) = 0,47 - 0,13 = 0,34$$

Это равносильно вычислению $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$, но через пересечение проще.