Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Обозначим события: $A$ — яйцо высшей категории, $B_1$ — яйцо из первого хозяйства, $B_2$ — яйцо из второго хозяйства.

Даны условные вероятности: $P(A|B_1) = 0,05$, $P(A|B_2) = 0,3$. Также известно, что $P(A) = 0,15$ (доля яиц высшей категории во всех закупках).

Поскольку агрофирма закупает яйца только у двух хозяйств, события $B_1$ и $B_2$ образуют полную группу: $P(B_1) + P(B_2) = 1$, откуда $P(B_2) = 1 - P(B_1)$.

Применим формулу полной вероятности: $$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2)$$

Подставим известные значения: $$0,15 = 0,05 \cdot P(B_1) + 0,3 \cdot (1 - P(B_1))$$

Раскроем скобки: $$0,15 = 0,05 \cdot P(B_1) + 0,3 - 0,3 \cdot P(B_1)$$

Приведём подобные: $$0,15 = -0,25 \cdot P(B_1) + 0,3$$

Перенесём 0,3 влево: $$0,15 - 0,3 = -0,25 \cdot P(B_1)$$ $$-0,15 = -0,25 \cdot P(B_1)$$

Разделим обе части на $-0,25$: $$P(B_1) = \frac{0,15}{0,25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$$