ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 5Теоремы о вероятностях событий

Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 56.3.1 Вероятности событий6.3.2 Использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов  — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов  — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку  — 0,8, по иностранному языку  — 0,7 и по обществознанию  — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

В подтеме 59 задач
Разбор
Главная идея: Поступление требует обязательно математики и русского, плюс хотя бы одного предмета на выбор; используем формулу суммы вероятностей для «иностранный ИЛИ обществознание», а затем правило произведения независимых событий.

Обозначим события: A — сдал математику на 70+, B — русский на 70+, C — иностранный на 70+, D — обществознание на 70+.

Даны вероятности: P(A)=0,6P(A) = 0,6; P(B)=0,8P(B) = 0,8; P(C)=0,7P(C) = 0,7; P(D)=0,5P(D) = 0,5.

Поступить на «Лингвистику» означает сдать A, B и C одновременно. Поступить на «Коммерцию» означает сдать A, B и D одновременно.

Поступить хотя бы на одну специальность — значит сдать A и B, а затем сдать либо C, либо D (или оба). Это событие можно записать как A∩B∩(C∪D)A \cap B \cap (C \cup D).

Используем формулу суммы вероятностей: P(C∪D)=P(C)+P(D)−P(C∩D)P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)

Поскольку события независимы: P(C∪D)=0,7+0,5−0,7⋅0,5=1,2−0,35=0,85P(C \cup D) = 0,7 + 0,5 - 0,7 \cdot 0,5 = 1,2 - 0,35 = 0,85

Теперь найдём вероятность произведения независимых событий A, B и (C∪D)(C \cup D): P(A∩B∩(C∪D))=P(A)⋅P(B)⋅P(C∪D)P(A \cap B \cap (C \cup D)) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C \cup D) =0,6⋅0,8⋅0,85=0,48⋅0,85=0,408= 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,85 = 0,48 \cdot 0,85 = 0,408

Типичные ошибки

  • Забыли вычесть произведение P(C)⋅P(D)P(C) \cdot P(D) из суммы вероятностей — это приводит к завышению P(C∪D)P(C \cup D)
  • Применили формулу произведения неправильно, считая события зависимыми, когда они независимы по условию
  • Спутали логику: считали только один путь поступления (либо только лингвистику, либо только коммерцию), не учитывая оба варианта одновременно
Непонятно?

Похожие задачи