Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Сначала определим вероятности для одной игры. В каждой игре возможны три исхода: выигрыш (3 очка, вероятность 0,4), ничья (1 очко) и проигрыш (0 очков, вероятность 0,4). Поскольку вероятности выигрыша и проигрыша равны по 0,4, то вероятность ничьей составляет $P(\text{ничья}) = 1 - 0,4 - 0,4 = 0,2$.

Теперь выясним, какие комбинации результатов за две игры дают не менее 4 очков:

• Выигрыш и ничья: $3 + 1 = 4$ очка ✓
• Ничья и выигрыш: $1 + 3 = 4$ очка ✓
• Два выигрыша: $3 + 3 = 6$ очков ✓
• Остальные комбинации дают меньше 4 очков.

Эти три события несовместны (не могут произойти одновременно). По теореме сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$$P(N \geq 4) = P(3+1) + P(1+3) + P(3+3)$$

Каждое событие — произведение независимых исходов двух игр. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

$$P(N \geq 4) = P(\text{выигрыш}) \cdot P(\text{ничья}) + P(\text{ничья}) \cdot P(\text{выигрыш}) + P(\text{выигрыш}) \cdot P(\text{выигрыш})$$

$$P(N \geq 4) = 0,4 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32$$