ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 5Теоремы о вероятностях событий

Задача 320175. Теоремы о вероятностях событий

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 56.3.1 Вероятности событий6.3.2 Использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

В подтеме 59 задач
Разбор
Главная идея: Использовать противоположное событие (обе лампы перегорят) проще, чем считать все варианты «хотя бы одна не перегорит», а затем применить формулу противоположности.

Шаг 1. Определим противоположное событие

Найти вероятность того, что «хотя бы одна лампа не перегорит» напрямую сложнее. Лучше найти вероятность противоположного события — что перегорят обе лампы сразу.

Шаг 2. Найдём вероятность перегорания обеих ламп

Для каждой лампы вероятность перегорания в течение года равна 0,3. События независимы, поэтому применим теорему произведения вероятностей независимых событий:

P(обе перегорят)=0,3⋅0,3=0,09P(\text{обе перегорят}) = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09

Лампы функционируют независимо друг от друга, поэтому вероятности перемножаются.

Шаг 3. Применим формулу противоположного события

Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» — это противоположное событие к «обе лампы перегорели». По формуле вероятности противоположного события:

P(хотя бы одна не перегорит)=1−P(обе перегорят)=1−0,09=0,91P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - P(\text{обе перегорят}) = 1 - 0,09 = 0,91

Ответ: 0,91

Типичные ошибки

  • Попытка напрямую сложить вероятности 0,3 + 0,3, не учитывая структуру события «хотя бы одна».
  • Забывают применить теорему произведения для независимых событий и складывают вероятности 0,3 + 0,3 вместо произведения.
  • Ошибка в применении формулы противоположного события — вычитают из 0,3 вместо из 1.

Ещё задачи этой подтемы