Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Шаг 1: Переходим к противоположному событию

Нам нужна вероятность уничтожения цели не менее 0,98. Удобнее работать с противоположным событием — промахом при всех выстрелах. Если вероятность уничтожения ≥ 0,98, то вероятность промаха ≤ 0,02.

Шаг 2: Находим вероятность промаха при каждом выстреле

При первом выстреле: $P(\text{промах}_1) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$

При каждом последующем выстреле: $P(\text{промах}_i) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ для $i \geq 2$

Шаг 3: Составляем формулу для вероятности промаха при n выстрелах

Так как выстрелы независимы, вероятность промахнуться при всех n выстрелах равна произведению: $$P(\text{все промахи}) = 0{,}6 \cdot 0{,}4^{n-1}$$

Первый множитель — промах в первом выстреле, остальные $(n-1)$ множители — промахи при последующих выстрелах.

Шаг 4: Составляем и решаем неравенство

Условие задачи требует: $$0{,}6 \cdot 0{,}4^{n-1} < 0{,}02$$

Преобразуем в удобный вид: $$0{,}4^{n-1} < \frac{0{,}02}{0{,}6} = \frac{1}{30}$$

Учитывая, что $0{,}4 = \frac{2}{5}$: $$\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} < \frac{1}{30}$$

Шаг 5: Проверяем значения

• $n = 1$: $0{,}6 \cdot 0{,}4^0 = 0{,}6 > 0{,}02$ ✗
• $n = 2$: $0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24 > 0{,}02$ ✗
• $n = 3$: $0{,}6 \cdot 0{,}16 = 0{,}096 > 0{,}02$ ✗
• $n = 4$: $0{,}6 \cdot 0{,}064 = 0{,}0384 > 0{,}02$ ✗
• $n = 5$: $0{,}6 \cdot 0{,}0256 = 0{,}01536 < 0{,}02$ ✓

Наименьшее натуральное решение: $n = 5$