Задача 500998. Теоремы о вероятностях событий

Для решения используем метод последовательного выбора монет.

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, нужно, чтобы в три выбранные монеты попала ровно одна пятирублевая и две десятирублевые.

Считаем вероятность через порядок извлечения:

Пусть Петя вытягивает монеты последовательно. Вероятность вытянуть одну пятирублевую и две десятирублевые в конкретном порядке (пятирублевая первой):

$$P(5,10,10) = \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$$

Пятирублевая может быть вытянута на первое, второе или третье место. Это три несовместных события, их вероятности одинаковые (по симметрии), поэтому:

$$P(\text{одна пятирублевая из трёх}) = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} = 0,6$$

Проверка через позиции: всего 6 монет, выбираем 3. Подходящих наборов — выбрать 1 пятирублевую из 2 и 2 десятирублевые из 4:

$$P = \frac{C_2^1 \cdot C_4^2}{C_6^3} = \frac{2 \cdot 6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$$