ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 5Теоремы о вероятностях событий

Задача 320207. Теоремы о вероятностях событий

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 56.3.1 Вероятности событий6.3.2 Использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

В подтеме 59 задач
Разбор
Главная идея: Используется формула полной вероятности: вероятность события равна сумме вероятностей его наступления при каждом из несовместных исходов, образующих полную группу.

Пациент получает положительный результат в двух взаимоисключающих случаях:

Случай 1: пациент болен гепатитом, анализ верен.

Вероятность того, что пациент болен: P(болен)=0,05P(\text{болен}) = 0,05.

При условии, что болен, анализ покажет положительный результат с вероятностью 0,90,9.

Вероятность этого случая: P1=0,05⋅0,9=0,045P_1 = 0,05 \cdot 0,9 = 0,045.

Случай 2: пациент здоров, анализ дал ложный положительный результат.

Вероятность того, что пациент не болен: P(не болен)=1−0,05=0,95P(\text{не болен}) = 1 - 0,05 = 0,95.

При условии, что не болен, анализ ошибочно даст положительный результат с вероятностью 0,010,01.

Вероятность этого случая: P2=0,95⋅0,01=0,0095P_2 = 0,95 \cdot 0,01 = 0,0095.

Применение формулы полной вероятности.

События «болен» и «не болен» образуют полную группу — они несовместны и одно из них гарантированно происходит. Положительный результат наступает при наступлении одного из этих случаев:

P(положительный результат)=P1+P2=0,045+0,0095=0,0545P(\text{положительный результат}) = P_1 + P_2 = 0,045 + 0,0095 = 0,0545

Типичные ошибки

  • Забыли учесть ложный положительный результат — считали только вероятность того, что анализ верен у больного пациента.
  • Неправильно вычислили вероятность того, что пациент здоров: использовали 0,05 вместо 0,95.
  • Перепутали условные вероятности: применили 0,9 к здоровым пациентам или 0,01 к больным.

Ещё задачи этой подтемы