Задание 5 ЕГЭ, математика (профиль): Теоремы о вероятностях событий

Обозначим события: $A$ — кофе закончится в первом автомате, $B$ — кофе закончится во втором автомате.

По условию:

• $P(A) = 0,25$
• $P(B) = 0,25$
• $P(A \cap B) = 0,15$ (кофе закончится в обоих)

Нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах — это противоположное событие к тому, что кофе закончится хотя бы в одном из них.

Сначала найдём вероятность события $A \cup B$ (кофе закончится хотя бы в одном автомате). Поскольку события $A$ и $B$ совместные (могут происходить одновременно), применяем формулу для суммы совместных событий: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0,25 + 0,25 - 0,15 = 0,35$$

Зачем вычитаем пересечение? Потому что при сложении $P(A) + P(B)$ мы учли случай, когда кофе закончится в обоих автоматах, дважды. Вычитание исправляет эту ошибку.

Вероятность противоположного события (кофе останется в обоих автоматах): $$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,35 = 0,65$$