Задача 320172. Теоремы о вероятностях событий

Обозначим события: $A$ — кофе закончился в первом автомате, $B$ — кофе закончился во втором автомате.

Шаг 1. Найдём вероятности противоположных событий (что кофе остался): $$P(\overline{A}) = 1 - 0,3 = 0,7$$ $$P(\overline{B}) = 1 - 0,3 = 0,7$$

Это потому, что события «кофе закончился» и «кофе остался» несовместны и полны.

Шаг 2. Используем формулу суммы вероятностей [P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)]: $$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$$

Знаем: $P(A) = P(B) = 0,3$, $P(A \cdot B) = 0,12$. $$P(A + B) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48$$

Это вероятность того, что кофе закончился хотя бы в одном автомате.

Шаг 3. Ищем вероятность противоположного события — что кофе остался в обоих: $$P(\overline{A + B}) = P(\overline{A} \cdot \overline{B}) = 1 - P(A + B) = 1 - 0,48 = 0,52$$

По закону де Моргана, противоположное событию «хотя бы в одном закончился» — это «в обоих остался».