Векторы и операции с ними: разбор задания 2 ЕГЭ по математике

О чём эта подтема

Задание 2 на векторы проверяет умение работать с базовыми операциями: сложением, вычитанием векторов и нахождением их координат и длины. Обычно даётся рисунок — сетка, многоугольник, ромб или система координат — и нужно построить нужный вектор геометрически или вычислить его координаты, а затем найти длину или сумму координат.

Эта подтема считается одной из самых «дешёвых» в плане баллов: правил немного, они простые, а ошибки чаще всего связаны с невнимательностью при чтении рисунка или с путаницей в порядке вычитания координат. Если разобраться в логике один раз, задание решается за 1–2 минуты.

Что нужно знать

1. Координаты вектора. Если вектор идёт из точки $A(x_1;y_1)$ в точку $B(x_2;y_2)$, то $$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\;y_2-y_1).$$ Важно: из координат конца вычитаем координаты начала, а не наоборот.

2. Длина вектора по координатам. Если $\vec a=(x;y)$, то $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

3. Сложение векторов.

• По координатам: $(x_1;y_1)+(x_2;y_2)=(x_1+x_2;\;y_1+y_2)$.
• Геометрически (правило треугольника): если конец первого вектора совпадает с началом второго, сумма — вектор из начала первого в конец второго: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$
• Правило параллелограмма используется, когда векторы отложены из одной точки: сумма — диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.

4. Вычитание векторов.

• По координатам: $(x_1;y_1)-(x_2;y_2)=(x_1-x_2;\;y_1-y_2)$.
• Геометрически, если векторы отложены из общей точки $A$: $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}.$$ Это ключевое правило: разность двух векторов с общим началом равна вектору, идущему из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого. Многие путают направление — стоит запомнить это правило отдельно.

5. Умножение вектора на число. Если $\vec a=(x;y)$, то $k\vec a=(kx;ky)$. При $k<0$ направление вектора меняется на противоположное, при $|k|>1$ длина увеличивается, при $|k|<1$ — уменьшается.

6. Свойства ромба и параллелограмма, которые часто нужны в геометрических задачах:

• диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам;
• диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;
• в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, что задаёт равные векторы.

Этого набора фактов достаточно, чтобы решить практически любую задачу этого типа.

Как решать: метод и алгоритм

Задачи на векторы делятся на два типа: геометрические (вектор нужно построить на рисунке и найти его длину через известные отрезки) и координатные (заданы точки на сетке, нужно вычислить координаты).

Алгоритм для геометрической задачи (рисунок без координатной сетки):

1. Определить, что стоит в условии — сумма или разность векторов.
2. Если векторы имеют общее начало — применить правило треугольника (для суммы) или правило "конец минус конец" (для разности): $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.
3. Если векторы соединены "цепочкой" (конец одного — начало другого) — сложить их по правилу треугольника или многоугольника.
4. Определить, какому отрезку на рисунке равен получившийся вектор (диагональ, сторона, средняя линия и т. д.).
5. Найти длину этого отрезка, используя известные данные фигуры (свойства ромба, параллелограмма, теорему Пифагора при необходимости).

Алгоритм для координатной задачи (сетка или явно данные координаты точек):

1. Определить координаты начала и конца каждого вектора по рисунку или условию.
2. Найти координаты каждого вектора по формуле «конец минус начало».
3. Выполнить нужную операцию (сложение/вычитание) покоординатно.
4. Если требуется длина — применить формулу $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$; если требуется сумма координат — просто сложить полученные числа.
5. Проверить знаки: при сложении и вычитании легко перепутать порядок или потерять минус.

Главное — сразу понять тип задачи по рисунку: если есть координатная сетка с подписанными или угадываемыми точками, работаем с координатами; если это чистая геометрическая фигура без сетки, работаем с геометрическими правилами.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён ромб $ABCD$, диагонали которого равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$.

Шаг 1. Преобразуем разность векторов.

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ имеют общее начало в точке $A$. По правилу вычитания векторов с общим началом: $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}.$$ Почему именно так: разность отложенных из одной точки векторов — это вектор, идущий из конца вычитаемого вектора ($D$ — конец $\overrightarrow{AD}$) в конец уменьшаемого вектора ($B$ — конец $\overrightarrow{AB}$).

Шаг 2. Находим длину полученного вектора.

$|\overrightarrow{DB}|=BD$ — это одна из диагоналей ромба $ABCD$. По рисунку видно, что $AC$ — большая диагональ (соединяет левый нижний и правый верхний углы), значит $AC=16$, а вторая диагональ $BD=12$.

Проверка через свойства ромба: диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам, значит половины диагоналей равны 6 и 8, а сторона ромба $\sqrt{6^2+8^2}=10$ — это согласуется с обычной геометрией ромба, ошибок нет.

Итоговый ответ: $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=BD=12$.

Пример 2. По рисунку с координатной сеткой найдите сумму координат вектора $\vec a-\vec b$.

Шаг 1. Находим координаты каждого вектора.

Правило: из координат конца вычитаем координаты начала.

Вектор $\vec a$ идёт из точки $(2;4)$ в точку $(4;10)$: $$\vec a=(4-2;\;10-4)=(2;6).$$

Вектор $\vec b$ идёт из точки $(2;2)$ в точку $(10;6)$: $$\vec b=(10-2;\;6-2)=(8;4).$$

Шаг 2. Вычитаем векторы покоординатно.

Вычитание векторов по координатам выполняется отдельно по каждой оси: $$\vec a-\vec b=(2-8;\;6-4)=(-6;\;2).$$

Шаг 3. Находим сумму координат полученного вектора.

$$-6+2=-4.$$

Ответ: $-4$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала свести операцию к понятному виду (геометрически или через координаты), потом аккуратно выполнить арифметику.

Типичные ошибки

• Перепутан порядок вычитания координат. Часто вместо «конец минус начало» школьники считают «начало минус конец», получая противоположный по знаку результат.
• Неверное применение правила разности векторов с общим началом. Путают, что $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, а не $\overrightarrow{BD}$. Направление вектора имеет значение, если в задаче важен знак координат, но для длины это не критично, а вот в задачах с суммой координат — критично.
• Ошибка при определении диагоналей ромба или параллелограмма на рисунке. Нужно внимательно смотреть, какая диагональ на конкретном рисунке большая, а какая меньше — не полагаться на «стандартное» расположение.
• Неверное считывание координат точек по клеткам. При работе с сеткой легко ошибиться на одну клетку, особенно если точка не находится точно на пересечении линий сетки.
• Путаница между суммой координат вектора и длиной вектора. Это разные величины: сумма координат — это просто $x+y$, а длина — это $\sqrt{x^2+y^2}$. Нужно внимательно читать, что именно спрашивается в условии.
• Забывают знак минус при подстановке отрицательных координат в формулу длины или суммы, из-за чего теряют или, наоборот, добавляют минус там, где его быть не должно.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как приступать к вычислениям, чётко определите тип задачи по рисунку: чистая геометрическая фигура (работаем с правилами сложения/вычитания через общие точки и свойства фигур) или координатная сетка (переводим всё в числа и считаем покоординатно).

Всегда перечитывайте формулировку вопроса до конца: спрашивают длину вектора, сумму координат или, например, произведение координат — это разные ответы, которые получаются из одних и тех же промежуточных вычислений.

При работе с рисунком без сетки не бойтесь достраивать вспомогательные элементы: если сумма или разность векторов сводится к диагонали или стороне известной фигуры, используйте её геометрические свойства (перпендикулярность диагоналей ромба, равенство сторон параллелограмма и так далее).

Проверяйте себя через альтернативный способ: если задача геометрическая, можно быстро прикинуть координаты точек по рисунку и посчитать через формулы — это хороший способ проверить геометрическое решение и не ошибиться из-за невнимательности.

Наконец, не усложняйте: задание 2 почти всегда решается в два-три шага. Если вычисления получаются громоздкими, скорее всего, где-то допущена ошибка в чтении рисунка или в применении правила — стоит вернуться и перепроверить исходные данные.