Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Шаг 1. Найдём скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$

Подставляем координаты: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot (-3) = -12 - 12 = -24$$

Отрицательное значение говорит о том, что угол между векторами тупой.

Шаг 2. Найдём длины (модули) векторов.

Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

$$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

$$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 3. Применим формулу косинуса угла.

Косинус угла между двумя векторами: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-24}{5 \cdot 5} = \frac{-24}{25} = -0,96$$

Ответ: –0,96