Задание 2 ЕГЭ: векторы и операции с ними — формулы и разбор

Что проверяет задание

Задание 2 проверяет базовое владение векторной алгеброй на плоскости: умение находить координаты вектора по координатам его начала и конца, выполнять сложение, вычитание и умножение вектора на число, а также вычислять длину (модуль) вектора. Задача часто опирается на геометрический рисунок (ромб, параллелограмм, координатная сетка), поэтому нужно уверенно переходить между геометрической и координатной формой записи вектора.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки: «Найдите длину вектора», «Найдите сумму координат вектора», «Дан параллелограмм/ромб, найдите длину вектора $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$». Задание относится к первой части экзамена, оценивается в 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь, вводится без решения. На выполнение обычно уходит 2–4 минуты.

Что нужно знать

• Координаты вектора по двум точкам: если $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$, то $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\;y_2-y_1)$.
• Длина вектора по координатам: $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Длина вектора $\overrightarrow{AB}$: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
• Сложение векторов по координатам: $\vec a+\vec b=(x_1+x_2;\;y_1+y_2)$.
• Вычитание векторов по координатам: $\vec a-\vec b=(x_1-x_2;\;y_1-y_2)$.
• Умножение на число: $k\vec a=(kx;\;ky)$.
• Правило треугольника: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
• Правило вычитания векторов с общим началом: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ (вектор идёт из конца вычитаемого в конец уменьшаемого).
• В параллелограмме $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
• Диагонали параллелограмма и ромба точкой пересечения делятся пополам; в ромбе диагонали ещё и перпендикулярны.
• Модуль вектора не может быть отрицательным; $|\vec 0|=0$.

Методы решения

1. Метод координат по точкам. Если известны координаты начала и конца вектора, вычитаем их и получаем координаты вектора, затем находим длину по теореме Пифагора. Пример: точки $A(1;2)$, $B(4;6)$. Тогда $\overrightarrow{AB}=(3;4)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16}=5$.

2. Метод покоординатных операций. Если вектора уже заданы координатами (или найдены), сложение/вычитание/умножение на число делаем покоординатно, а затем при необходимости считаем длину или сумму координат результата. Пример: $\vec a=(3;1)$, $\vec b=(1;5)$. Тогда $\vec a-\vec b=(2;-4)$, сумма координат $2+(-4)=-2$.

3. Геометрический метод (правило треугольника/параллелограмма). Разности и суммы векторов с общим началом сводим к отрезкам-диагоналям или сторонам фигуры без перехода к координатам — удобно для ромба/параллелограмма на рисунке. Пример: в параллелограмме $ABCD$ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ — длина диагонали $DB$.

4. Метод свойств ромба и параллелограмма. Используем, что диагонали делятся точкой пересечения пополам и (в ромбе) перпендикулярны, чтобы связать длины диагоналей со сторонами через теорему Пифагора. Пример: если диагонали ромба равны 6 и 8, сторона равна $\sqrt{3^2+4^2}=5$.

5. Комбинированный метод (чтение с координатной сетки). Когда вектор задан рисунком на клетчатой плоскости, сначала считаем клетки по горизонтали и вертикали, получая координаты, затем применяем формулу длины. Пример: вектор идёт на 5 клеток вправо и 12 вверх — $|\vec a|=\sqrt{25+144}=13$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, в какой форме дан вектор: по точкам, по готовым координатам или геометрически (на рисунке фигуры).
2. Если вектор задан точками — найти его координаты как разность координат конца и начала.
3. Если в условии есть сумма или разность нескольких векторов — выполнить операцию покоординатно либо свести к правилу треугольника/параллелограмма геометрически.
4. Если нужно найти длину — применить формулу $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$.
5. Если нужно найти сумму координат — сложить полученные $x$ и $y$ итогового вектора.
6. Проверить результат на согласованность с рисунком (например, длина диагонали должна быть правдоподобной для данной фигуры).
7. Записать ответ в требуемом формате (целое число или десятичная дробь).

Разбор примеров

Пример 1. Диагонали ромба $ABCD$ равны 12 и 16. Найдите $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$.

Шаг 1. Преобразуем разность векторов по правилу вычитания с общим началом: $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}.$$ Это следует из того, что векторы отложены из одной точки $A$, а разность даёт вектор из конца вычитаемого ($D$) в конец уменьшаемого ($B$).

Шаг 2. Находим длину $\overrightarrow{DB}$ — это диагональ $BD$ ромба. По рисунку большая диагональ $AC=16$, значит вторая диагональ $BD=12$.

Проверка: сторона ромба равна $\sqrt{6^2+8^2}=10$, что согласуется с геометрией фигуры (полудиагонали 6 и 8).

Ответ: $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=BD=12$.

Пример 2. Найдите сумму координат вектора $\vec a-\vec b$, где векторы заданы на рисунке точками.

Шаг 1. Находим координаты каждого вектора как разность координат конца и начала.

Вектор $\vec a$ идёт из $(2;4)$ в $(4;10)$: $$\vec a=(4-2;\,10-4)=(2;6).$$

Вектор $\vec b$ идёт из $(2;2)$ в $(10;6)$: $$\vec b=(10-2;\,6-2)=(8;4).$$

Шаг 2. Вычитаем векторы покоординатно: $$\vec a-\vec b=(2-8;\,6-4)=(-6;2).$$

Шаг 3. Считаем сумму координат результата: $$-6+2=-4.$$

Ответ: $-4$.

Пример 3. Найдите длину вектора $\vec a(6;8)$.

Шаг 1. Координаты вектора уже даны, дополнительных вычислений для их нахождения не требуется.

Шаг 2. Применяем формулу длины вектора: $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$

Шаг 3. Проверка: тройка $(6;8;10)$ — это масштабированная пифагорова тройка $(3;4;5)\times2$, значит вычисление верно.

Ответ: $10$.

Типичные ошибки и ловушки

• Перепутать порядок вычитания координат: нужно брать координаты конца минус координаты начала, а не наоборот.
• Спутать, какая диагональ ромба или параллелограмма больше, а какая меньше, при чтении рисунка — важно ориентироваться на реальные отметки длин, а не на «визуальную» длину отрезка.
• При вычитании векторов с общим началом ошибиться в направлении итогового вектора (перепутать $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{BD}$) — на длину это не влияет, но при работе с координатами знаки важны.
• Забыть, что длина вектора всегда неотрицательна, и получить отрицательный «ответ» из-за арифметической ошибки в промежуточных вычислениях.
• При подсчёте суммы координат результата случайно сложить не итоговые координаты разности/суммы, а исходные координаты отдельных векторов.
• Ошибка в извлечении корня или в возведении в квадрат при вычислении длины — стоит помнить основные пифагоровы тройки (3-4-5, 6-8-10, 5-12-13) для быстрой проверки.
• Неверно определить вершины фигуры на рисунке (перепутать соседние и противоположные вершины), что приводит к неверному вектору стороны или диагонали.

Как готовиться

Отработайте формулу координат вектора по двум точкам до автоматизма — тренируйтесь находить координаты за несколько секунд по любому рисунку с координатной сеткой. Решите серию задач на сложение и вычитание векторов покоординатно, а затем отдельно — задачи на векторы в ромбах и параллелограммах, где решение строится через свойства диагоналей без перехода к координатам. Заучите основные пифагоровы тройки, чтобы быстро извлекать корни при вычислении длины вектора. Регулярно решайте задания по клетчатым рисункам, считая координаты по клеткам, — это самый частый формат в реальном экзамене. После каждого решения делайте проверку: соответствует ли полученная длина или сумма координат общей картине рисунка, чтобы отловить ошибки в знаках или порядке вычитания.