Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Шаг 1. Найдём сумму векторов геометрически.

Нужно сложить $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO}$. По правилу треугольника: если приложить вектор $\overrightarrow{BO}$ к концу вектора $\overrightarrow{AO}$, получится вектор $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO}$. Но проще заметить, что $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OB}$, поэтому сумма $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO}$ равна $\overrightarrow{AD}$ (диагональное направление в ромбе).

Шаг 2. Вспомним свойство диагоналей ромба.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Значит, $O$ — середина обеих диагоналей. Если диагонали равны 12 и 16, то:

• $AO = \frac{12}{2} = 6$ (половина одной диагонали)
• $OD = \frac{16}{2} = 8$ (половина другой диагонали)

Шаг 3. Найдём длину стороны AD по теореме Пифагора.

Поскольку диагонали перпендикулярны, треугольник $AOD$ прямоугольный с прямым углом в $O$:

$$AD = \sqrt{AO^2 + OD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Длина вектора $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO}$ равна длине отрезка $AD$, то есть 10.