ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора \overrightarrowAB минус \overrightarrowAC.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Разность векторов преобразуется в вектор CB, который становится гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного половинами перпендикулярных диагоналей ромба.

Начнём с преобразования разности векторов. По правилу вычитания векторов:

AB→−AC→=CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}

Это работает потому, что AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}, поэтому AB→−AC→=AB→−AB→−BC→=−BC→=CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}.

Теперь найдём длину CB→\overrightarrow{CB}. Используем ключевое свойство ромба: диагонали перпендикулярны друг другу и делятся точкой пересечения O пополам.

Пусть диагонали AC и BD имеют длины 12 и 16 соответственно. Тогда:

  • OC=122=6OC = \frac{12}{2} = 6
  • OB=162=8OB = \frac{16}{2} = 8

Треугольник BOC — прямоугольный (диагонали перпендикулярны), с прямым углом в O. Сторона CB является гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора:

CB=OB2+OC2=82+62=64+36=100=10CB = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

Поэтому ∣CB→∣=10|\overrightarrow{CB}| = 10.

Типичные ошибки

  • Забыть, что разность AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} равна CB→\overrightarrow{CB}, а не какому-то другому вектору
  • Неправильно применить свойство деления диагоналей: забыть разделить их длины на 2
  • Ошибиться в вычислении: например, использовать диагонали 12 и 16 как катеты без деления на 2
Непонятно?

Похожие задачи