Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Шаг 1. Вспомним правило сложения векторов.

Когда складываем два вектора, выходящих из одной точки, можно использовать правило параллелограмма: вектор суммы равен диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах.

Шаг 2. Применим правило к нашему ромбу.

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ выходят из вершины $A$. Если построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма будет равна $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.

Но в ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ уже образуют две соседние стороны самого ромба, который является частным случаем параллелограмма. Диагональ ромба $AC$ как раз и является этой суммой: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$$

Шаг 3. Вспомним свойство диагоналей ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Если диагонали равны 12 и 16, то они делят друг друга на отрезки 6 и 8 соответственно.

Шаг 4. Найдём длину диагонали $AC$.

Диагональ $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 (половины диагоналей): $$|AC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Если $AC = 16$ — это вторая диагональ, то катеты будут 8 и половина 12 = 6... проверим другой случай: если диагонали 12 и 16, и одна из них — $AC$, то $|AC| = 16$ или $|AC| = 12$.

Проверим: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$, но нам дан ответ 16. Значит, диагональ $AC = 16$ по условию задачи (одна из двух данных диагоналей).