ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов \overrightarrowAO и \overrightarrowDO.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Сумма векторов из противоположных вершин к центру прямоугольника равна вектору вдоль одной из его сторон благодаря свойству симметрии центра относительно диагоналей.

Разместим прямоугольник ABCD так, чтобы AB = 6 и AD = 8 (или наоборот — порядок не важен).

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке O, которая является их общей серединой. Это ключевое свойство: точка O делит каждую диагональ пополам.

Обозначим через AO→\overrightarrow{AO} вектор от вершины A к центру O, а через DO→\overrightarrow{DO} — вектор от вершины D к центру O.

Применим правило треугольника для сложения векторов. Чтобы найти AO→+DO→\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DO}, переместим второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого.

Заметим, что DO→=−OD→\overrightarrow{DO} = -\overrightarrow{OD}. Из свойства симметрии прямоугольника относительно точки O: OD→=−OB→\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}, поэтому DO→=OB→\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{OB}.

Тогда AO→+DO→=AO→+OB→\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}.

По правилу треугольника: AO→+OB→=AB→\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}.

Длина вектора AB→\overrightarrow{AB} — это одна из сторон прямоугольника, которая равна 6.

Типичные ошибки

  • Попытка применить формулу длины суммы через теорему косинусов, забыв, что векторы нужно сначала правильно сложить геометрически
  • Ошибка в определении, какие стороны равны 6 и 8 — некоторые студенты думают, что это диагонали
  • Неправильное использование свойства центра прямоугольника: забывают, что O делит диагонали пополам и служит точкой симметрии
Непонятно?

Похожие задачи