ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора \overrightarrowAD.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам — сторона ромба становится гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половинам диагоналей.

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как O.

Шаг 1. Используем свойство диагоналей ромба: они пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Если диагонали равны 12 и 16, то:

  • AO=122=6AO = \frac{12}{2} = 6 (половина первой диагонали)
  • BO=162=8BO = \frac{16}{2} = 8 (половина второй диагонали)

Шаг 2. Длина стороны AD соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника AOB, где катеты — это половины диагоналей. Это работает потому, что O лежит на диагонали AC, а вектор AD→\overrightarrow{AD} можно разложить как сумму перпендикулярных смещений по направлениям диагоналей.

Шаг 3. Применяем теорему Пифагора: AD=AO2+BO2=62+82=36+64=100=10AD = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

Длина вектора AD→\overrightarrow{AD} равна длине стороны AD ромба.

Типичные ошибки

  • Забыли разделить диагонали пополам — используют полные длины диагоналей вместо 6 и 8
  • Спутали, какой отрезок является гипотенузой: нужна сторона AD, а не диагональ
  • Неправильно применили теорему Пифагора: сложили 12 и 16 вместо корня из суммы квадратов половин
Непонятно?

Похожие задачи