ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 27715. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора \overrightarrowAB минус \overrightarrowAD.

Показать ответ
12ответ для бланка

Разбор

Главная идея: Разность векторов с общим началом AB→−AD→=DB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}, то есть длина равна диагонали BDBD.

Шаг 1. Преобразуем разность векторов.

По правилу вычитания векторов с общим началом: AB→−AD→=DB→.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}. Почему: разность векторов, отложенных из одной точки AA, — это вектор, идущий из конца вычитаемого (DD) в конец первого (BB).

Шаг 2. Находим длину.

∣DB→∣=BD|\overrightarrow{DB}|=BD — это диагональ ромба. По рисунку ACAC — большая диагональ (из левого нижнего в правый верхний угол), значит AC=16AC=16, а BD=12BD=12.

Проверка: диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона равна 62+82=10\sqrt{6^2+8^2}=10 — согласуется с ромбом.

Итак, ∣AB→−AD→∣=BD=12|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=BD=12.

Типичные ошибки

  • Путают направление разности и получают BD→\overrightarrow{BD} вместо нужной диагонали, а затем берут не ту диагональ (16 вместо 12).
  • Считают, что разность векторов — это сумма, и ищут длину диагонали ACAC.
  • Пытаются найти длину по формуле сторон, забыв, что результат — просто диагональ ромба.

Ещё задачи этой подтемы