Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Шаг 1. Определимся с длинами половин диагоналей

Диагонали ромба пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Если диагонали равны 12 и 16, то:

• $|AO| = \frac{12}{2} = 6$ (половина одной диагонали)
• $|BO| = \frac{16}{2} = 8$ (половина другой диагонали)

Шаг 2. Используем свойство диагоналей ромба

Важнейшее свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между диагоналями равен 90°. Следовательно, угол между векторами $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{BO}$ составляет ровно 90°.

Шаг 3. Применяем формулу скалярного произведения

Скалярное произведение вычисляется по формуле: $$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BO} = |\overrightarrow{AO}| \cdot |\overrightarrow{BO}| \cdot \cos(\alpha)$$

где $\alpha$ — угол между векторами.

Шаг 4. Подставляем значения

$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BO} = 6 \cdot 8 \cdot \cos(90°) = 6 \cdot 8 \cdot 0 = 0$$

Поскольку $\cos(90°) = 0$, всё произведение обращается в ноль.