ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 27734. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Найдите скалярное произведение векторов \overrightarrowa и \overrightarrowb.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Скалярное произведение векторов с известными координатами находится по формуле суммы произведений соответствующих координат.

Шаг 1. Определим координаты векторов

Из рисунка выписываем координаты:

  • a⃗=(2;6)\vec{a} = (2; 6)
  • b⃗=(8;4)\vec{b} = (8; 4)

Шаг 2. Применим формулу скалярного произведения

Для векторов, заданных координатами, скалярное произведение вычисляется по формуле: a⃗⋅b⃗=xa⋅xb+ya⋅yb\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b

Это означает: перемножаем соответствующие компоненты и складываем результаты.

Шаг 3. Подставим значения

a⃗⋅b⃗=2⋅8+6⋅4\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4

Шаг 4. Вычислим

a⃗⋅b⃗=16+24=40\vec{a} \cdot \vec{b} = 16 + 24 = 40

Типичные ошибки

  • Забывают возвести координаты в квадрат — скалярное произведение это не длина вектора
  • Путают порядок: складывают произведения (xa+ya)(xb+yb)(x_a + y_a)(x_b + y_b) вместо xaxb+yaybx_a x_b + y_a y_b
  • Неправильно определяют координаты векторов по рисунку, особенно если начало вектора не совпадает с началом координат

Ещё задачи этой подтемы