ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 649918. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Длина вектора \vec a равна 2 корень из 2 , угол между векторами \vec a и \vec b равен 45°, а скалярное произведение \vec a умножить на \vec b равно 12. Найдите длину вектора \vec b.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Скалярное произведение вектора выражается через произведение их модулей и косинуса угла между ними — подставь известные значения и реши уравнение относительно искомой длины.

Воспользуемся определением скалярного произведения через длины векторов и угол между ними.

Скалярное произведение двух векторов выражается формулой: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡α\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha

где α\alpha — угол между векторами.

Шаг 1. Подставим известные значения в формулу:

  • a⃗⋅b⃗=12\vec{a} \cdot \vec{b} = 12
  • ∣a⃗∣=22|\vec{a}| = 2\sqrt{2}
  • α=45°\alpha = 45°, следовательно cos⁡45°=22\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}

12=22⋅∣b⃗∣⋅2212 = 2\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Шаг 2. Упростим правую часть. Умножим 222\sqrt{2} на 22\frac{\sqrt{2}}{2}: 22⋅22=2⋅2⋅22=2⋅22=22\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2

Получаем: 12=2⋅∣b⃗∣12 = 2 \cdot |\vec{b}|

Шаг 3. Разделим обе части на 2: ∣b⃗∣=6|\vec{b}| = 6

Типичные ошибки

  • Забыли, что cos⁡45°=22\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, а не 12\frac{1}{2}
  • При вычислении произведения 22⋅222\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ошибочно получили не 2, а неправильное число
  • Неправильно раскрыли формулу скалярного произведения — попытались использовать координаты вместо углового определения

Ещё задачи этой подтемы