Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Используем формулу скалярного произведения через длины векторов и угол между ними:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$$

где $\alpha$ — угол между векторами.

Шаг 1. Подставим известные значения:

• $|\vec{a}| = 2\sqrt{3}$
• $|\vec{b}| = 5$
• $\alpha = 150°$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos 150°$$

Шаг 2. Найдём $\cos 150°$. Угол 150° находится во второй четверти, где косинус отрицательный. Заметим, что $150° = 180° - 30°$, поэтому:

$$\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3. Подставим значение косинуса:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Шаг 4. Вычислим произведение:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{2 \cdot 5 \cdot 3}{2} = -15$$

При умножении $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, двойки сокращаются.